八、解答题 (本题满分 10 分)
(1) 求微分方程 $x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x-y$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=\sqrt{2}}=0$ 的特解.
将原式变形为 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 这样的一阶线性微分方程的形式：
$$
x \frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=x-y \Rightarrow x \frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}+y=x \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime}+\frac{1}{x} y=1 \Rightarrow
$$
由公式可得：
$$
y=\left[\int 1 e^{\int \frac{1}{x} \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x+C\right] e^{-\int \frac{1}{x} \mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$
$$
y=\left[\int e^{\ln x} \mathrm{~ d} x+C\right] e^{-\ln x} \Rightarrow
$$
$$
y=\left[\int x \mathrm{~ d} x+C\right] \cdot \frac{1}{x} \Rightarrow
$$
$$
y=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{2} x^{2}+C\right) \Rightarrow
$$
又因为当 $x=\sqrt{2}$ 时，$y=0$, 所以：
$$
0=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+C) \Rightarrow
$$
$$
C = -1 \Rightarrow y=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}
$$
(2) 求微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=x \mathrm{e}^{x}$ 的通解.
齐通：
$$
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0 \Rightarrow \lambda^{2}+2 \lambda+1=0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4}}{2} \Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=-1 \Rightarrow
$$
$$
y^{*}=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{-x}
$$
非奇特：
设：
$$
Y^{*}=x^{k}(A x+B) e^{\mu x} \Rightarrow
$$
由于 $\mu = 1$ 与 $\lambda_{1} = \lambda_{2} = -1$ 都不相等，因此，$k=0$:
$$
Y^{*}=x^{0}(A x+B) e^{x}=(A x+B) e^{x}
$$
于是：
$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime}=A e^{x}+(A x+B) e^{x}
$$
$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}=A e^{x}+A e^{x}+(A x+B) e^{x}
$$
$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}+2\left(Y^{*}\right)^{\prime}+Y^{*}=x e^{x} \Rightarrow
$$
$$
A+A+A x+B+2 A+2(A x+B)+A x+B=x \Rightarrow
$$
$$
4 A+4 A x+4 B=x \Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}A+B=0 \\ 4A = 1 \end{array}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{4} \\ B = \frac{-1}{4} \end{array}\right.
$$
于是：
$$
Y^{*}=\left(\frac{1}{4} x-\frac{1}{4}\right) e^{x}
$$
非齐通 = 齐通 + 非奇特：
$$
Y=y^{*}+Y^{*} \Rightarrow
$$
$$
Y = \left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{-x}+\left(\frac{1}{4} x-\frac{1}{4}\right) e^{*}
$$