1987 年考研数二真题解析

八、解答题 (本题满分 10 分)

(1) 求微分方程 $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x-y$ 满足条件 ${y|}_{x=\sqrt{2}}=0$ 的特解.

将原式变形为 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ 这样的一阶线性微分方程的形式：

$$x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x-y\Rightarrow x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=x\Rightarrow$$

$$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=1\Rightarrow$$

由公式可得：

$$y=[\int 1e^{\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]e^{-\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$y=[\int e^{\ln x}\mathrm{d}x+C]e^{-\ln x}\Rightarrow$$

$$y=[\int x\mathrm{d}x+C]\cdot \frac{1}{x}\Rightarrow$$

$$y=\frac{1}{x}(\frac{1}{2}{x}^2+C)\Rightarrow$$

又因为当 $x=\sqrt{2}$ 时，$y=0$, 所以：

$$0=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+C)\Rightarrow$$

$$C=-1\Rightarrow y=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}$$

(2) 求微分方程 $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=x{\mathrm{e}}^x$ 的通解.

齐通：

$$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0\Rightarrow {\lambda }^2+2\lambda +1=0\Rightarrow$$

$$\lambda =\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}\Rightarrow {\lambda }_1={\lambda }_2=-1\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=(C_1+C_{2}x)e^{-x}$$

非奇特：

设：

$$Y^{\ast }=x^k(Ax+B)e^{\mu x}\Rightarrow$$

由于 $\mu =1$ 与 ${\lambda }_1={\lambda }_2=-1$ 都不相等，因此，$k=0$:

$$Y^{\ast }=x^0(Ax+B)e^x=(Ax+B)e^x$$

于是：

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime }=A{e}^x+(Ax+B)e^x$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime \prime }=A{e}^x+A{e}^x+(Ax+B)e^x$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime \prime }+2{\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime }+Y^{\ast }=x{e}^x\Rightarrow$$

$$A+A+Ax+B+2A+2(Ax+B)+Ax+B=x\Rightarrow$$

$$4A+4Ax+4B=x\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}A+B=0\\ 4A=1\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{4}\\ B=\frac{-1}{4}\end{array}$$

于是：

$$Y^{\ast }=(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4})e^x$$

非齐通 = 齐通 + 非奇特：

$$Y=y^{\ast }+Y^{\ast }\Rightarrow$$

$$Y=(C_1+C_{2}x)e^{-x}+(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4})e^{\ast }$$