极值点的一阶导等于零,但一阶导等于零的点不一定是极值点

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,f(x) 是定义于 x1 的正值连续函数,则 F(x) = 1x[(2x+lnx)(2t+lnt)]f(t)dt (x1) 的极小值点是 x=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

变形,区分常数和变量:

F(x)=1x[(2x+lnx)(2t+lnt)]f(t) dt

F(x)=(2x+lnx)1xf(t) dt1x(2t+lnt)f(t) dt

求导:

F(x)=

(2x+lnx)1xf(t) dt+(2x+lnx)f(x)(2x+lnx)f(x)

F(x)=(2x2+1x)1xf(x)

F(x)=(x2x2)1xf(t) dt

注意:虽然令 F(x)=0 可得 x=1x=2. 但是,x=1 是位于区间边缘上的点,无法形成“先增后减”或者“先减后增”的趋势,因此不可能是极值点。

由于:

1xf(t) dt0

因此,F(x) 的正负性就由 x2x2 的正负性决定:

F(x)x2x2{<0,1<x<2=0,x=2>0,x>2

由此会导致函数 F(x) 先减后增,因此 x=2 一定是唯一的极小值点。


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