“平方”套“平方”——这类积分你会算吗?

一、前言 前言 - 荒原之梦

本文将通过两道例题讲解如何用三角代换法求解被积函数分母上有“平方”套“平方”的积分。

题目 01

I=1(1+x2)2 dx=?

解析 01

令:

x=tant1+x2=1cos2t

 dx= d(tant)=1cos2t dt

于是:

I=1(1cos2t)21cos2t dt

I=11cos2t dtI=cos2t dt

又:

cos2α=2cos2α1cos2α=12(1+cos2α)

于是:

I=12(1+cos2t) dt

I=12[t+12sin2t]

I=12t+14sin2t+c

I=12arctanx+12sintcost+c

I=12arctanx+12sin(arctanx)cos(arctanx)+C

又由 这篇文章 可知:

sin(arctanx)=x1+x2

cos(arctanx)=11+x2

于是:

I=12arctanx+12x1+x211+x2+C

I=12arctan+x2(1+x2)+C

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