典型例题汇总：不定积分（凑微分、分部积分、一般有理式积分，三角函数有理式积分等） - 第7页共8页

题目 07

$I = \int \frac{x^{3} + 3}{x^{2} (1 + x)} d x = ?$

对于此类有理函数积分，一般都需要先用待定系数法分解：

$\frac{x^{3} + 3}{x^{2} (x + 1)} = \frac{x^{3} + 3}{x^{3} + x^{2}} = \frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + 3}{x^{3} + x^{2}} =$

$1 + \frac{3 - x^{2}}{x^{3} + x^{2}} = 1 + \frac{3 - x^{2}}{x^{2} (x + 1)} \Rightarrow$

在待定系数法中，分子的次幂要保持比分母小 $1$ 次，并且，当分母为一次幂时，分子设为常数 $A$ , 当分母为二次幂时，分子设为 $A x + B$ , 当分母为三次幂时，分子设为 $A x^{2} + B x + C$ :

$\frac{3 - x^{2}}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A x + B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1} =$

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1} \Rightarrow$

$\frac{A x^{2} (x + 1) + B x (x + 1) + C x^{3}}{x^{3} (x + 1)} = \frac{3 - x^{2}}{x^{2} (x + 1)} \Rightarrow$

$\frac{A x (x + 1) + B (x + 1) + C x^{2}}{x^{2} (x + 1)} = \frac{3 - x^{2}}{x^{2} (x + 1)} \Rightarrow$

$A x (x + 1) + B (x + 1) + C x^{2} = - x^{2} + 3 \Rightarrow$

$A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} = - x^{2} + 3 \Rightarrow$

于是：

${\begin{cases} A + C = - 1 \\ A + B = 0 \\ B = 3 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} C = 2 \\ A = - 3 \\ B = 3 \end{cases}$

因此：

$I = \int 1 d x + \int (\frac{- 3}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1}) d x \Rightarrow$

$I = x - 3 \ln | x | - \frac{3}{x} + 2 \ln | x + 1 | + C$

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