典型例题汇总：不定积分（凑微分、分部积分、一般有理式积分，三角函数有理式积分等）

题目 06

$$I=\int \frac{x{e}^{\arctan x}}{{(1+x^2)}^{3/2}}\mathrm{d}x=?$$

解析 06

Tips:

对于含有反三角函数的题目，要么利用其求导的性质凑分部积分，要么用三角代换“堙灭”反三角函数。

方法一（凑分部积分）

已知：

$$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\Rightarrow$$

$${\left(e^{\arctan x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\cdot e^{\arctan x}$$

于是：

$$I=\int \frac{x{e}^{\arctan x}}{{(1+x^2)}^{3/2}}\mathrm{d}x=\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}\left(e^{\arctan x}\right)\Rightarrow$$

$$I=\frac{x\cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^2}}-\int e^{\arctan x}\cdot {\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)}^{\prime }\mathrm{d}x$$

又：

$${\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)}^{\prime }=\frac{\sqrt{1+x^2}-x\cdot \frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=$$

$$\frac{\sqrt{1+x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=\frac{1}{{(1+x^2)}^{3/2}}$$

于是：

$$I=\frac{x\cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^2}}-\int \frac{e^{\arctan x}}{{(1+x^2)}^{3/2}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

再次凑分部积分（有些题目中的凑分部积分需要用两次）：

$$I=\frac{x\cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^2}}-[\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}\left(e^{\arctan x}\right)]\Rightarrow$$

$$I=\frac{x\cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^2}}-[\frac{e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^2}}–\int e^{\arctan x}\cdot \frac{-\frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$$I=\frac{(x-1)\cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^2}}-\int \frac{x\cdot e^{\arctan x}}{{(1+x^2)}^{3/2}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\frac{(x-1)\cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^2}}-I\Rightarrow$$

$$I=\frac{(x-1)\cdot e^{\arctan x}}{2\sqrt{1+x^2}}+C$$

方法二（反三角函数“堙灭”）

令：

$$x=\tan t\Rightarrow \arctan x=t$$

则：

$$I=\int \frac{x{e}^{\arctan x}}{{(1+x^2)}^{3/2}}=\int \frac{\tan t\cdot e^t}{{(1+{\tan }^{2}t)}^{3/2}}\mathrm{d}(\tan t)\Rightarrow$$

如果式子中含有 $\tan$, 主要的处理方法有两种：如果式子中全部都是 $\tan$, 则用代换的方式消除 $\tan$, 否则的话就要尝试将 $\tan$ 做进一步的运算，转换为 $\sin$ 或 $\cos$:

$$1+{\tan }^{2}t=1+\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$$

$$(\tan t{)}^{\prime }={\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)}^{\prime }=\frac{{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$$

于是：

$$I=\int \frac{\tan t\cdot e^t}{{\left(\frac{1}{{\cos }^{2}t}\right)}^{3/2}}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\int e^t\cdot \tan t\cdot {\cos }^{3}t\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\int e^t\tan t\cdot \cos t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\int e^t\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \cos t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

一般都是将 $e^t$ 凑到积分符号 $\mathrm{d}$ 中：

$$I=\int e^t\sin t=\int \sin t\mathrm{d}\left(e^t\right)=$$

$$e^t\sin t-\int e^t\cos t\mathrm{d}t=$$

再次用分部积分：

$$e^t\sin t-[\int \cos t\mathrm{d}\left(e^t\right)]=$$

$$e^t\sin t-[e^t\cos t+\int e^t\sin t\mathrm{d}t]\Rightarrow$$

$$I=e^t(\sin t-\cos t)-I\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{e}^t(\sin t-\cos t)+C\Rightarrow$$

又：

$$x=\tan t\Rightarrow t=\arctan x\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{e}^{\arctan x}[\sin (\arctan x)-\cos (\arctan x)]$$

$$I=\frac{1}{2}{e}^{\arctan x}[\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}]+C\Rightarrow$$

Tips:

上一步的计算方式可以参考《sin(arctan x) 和 cos(arctan x) 怎么算？一张图让你秒懂！》

$$I=\frac{(x-1)\cdot e^{\arctan x}}{2\sqrt{1+x^2}}+C\Rightarrow$$