题目 06
$$
I=\int \frac{x e^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{3 / 2}} \mathrm{~ d} x=?
$$
解析 06
Tips:
对于含有反三角函数的题目，要么利用其求导的性质凑分部积分，要么用三角代换“堙灭”反三角函数。
方法一（凑分部积分）
已知：
$$
(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} \Rightarrow
$$
$$
\left(e^{\arctan x}\right)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} \cdot e^{\arctan x}
$$
于是：
$$
I=\int \frac{x e^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{3 / 2}} \mathrm{~ d} x = \int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~ d} \left(e^{\arctan x}\right) \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{x \cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}-\int e^{\arctan x} \cdot\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)^{\prime} \mathrm{~ d} x
$$
又：
$$
\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)^{\prime}=\frac{\sqrt{1+x^{2}}-x \cdot \frac{1}{2} \frac{2 x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}}=
$$
$$
\frac{\sqrt{1+x^{2}}-\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}}=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{3 / 2}}
$$
于是：
$$
I=\frac{x \cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}-\int \frac{e^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{3 / 2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
再次凑分部积分（有些题目中的凑分部积分需要用两次）：
$$
I=\frac{x \cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}-\left[\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~ d} \left(e^{\arctan x}\right)\right] \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{x \cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}-\Bigg[\frac{e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}} – \int e^{\arctan x} \cdot \frac{-\frac{1}{2} \frac{2 x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}} \mathrm{~ d} x \Bigg] \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{(x-1) \cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}-\int \frac{x \cdot e^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{3 / 2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{(x-1) \cdot e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}-I \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{(x-1) \cdot e^{\arctan x}}{2 \sqrt{1+x^{2}}}+ C
$$
方法二（反三角函数“堙灭”）
令：
$$
x=\tan t \Rightarrow \arctan x=t
$$
则：
$$
I=\int \frac{x e^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{3 / 2}}=\int \frac{\tan t \cdot e^{t}}{\left(1+\tan ^{2} t\right)^{3 / 2}} \mathrm{~ d} (\tan t) \Rightarrow
$$
如果式子中含有 $\tan$, 主要的处理方法有两种：如果式子中全部都是 $\tan$, 则用代换的方式消除 $\tan$, 否则的话就要尝试将 $\tan$ 做进一步的运算，转换为 $\sin$ 或 $\cos$:
$$
1+\tan ^{2} t=1+\frac{\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t}=\frac{1}{\cos ^{2} t}
$$
$$
(\tan t)^{\prime}=\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^{\prime}=\frac{\cos ^{2} t+\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t}=\frac{1}{\cos ^{2} t}
$$
于是：
$$
I=\int \frac{\tan t \cdot e^{t}}{\left(\frac{1}{\cos ^{2} t}\right)^{3 / 2}} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\int e^{t} \cdot \tan t \cdot \cos ^{3} t \cdot \frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\int e^{t} \tan t \cdot \cos t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\int e^{t} \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \cos t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
一般都是将 $e^{t}$ 凑到积分符号 $\mathrm{d}$ 中：
$$
I=\int e^{t} \sin t=\int \sin t \mathrm{~ d} \left(e^{t}\right)=
$$
$$
e^{t} \sin t-\int e^{t} \cos t \mathrm{~ d} t=
$$
再次用分部积分：
$$
e^{t} \sin t-\left[\int \cos t \mathrm{~ d} \left(e^{t}\right)\right]=
$$
$$
e^{t} \sin t-\left[e^{t} \cos t+\int e^{t} \sin t \mathrm{~ d} t\right] \Rightarrow
$$
$$
I=e^{t}(\sin t-\cos t)-I \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2} e^{t}(\sin t-\cos t)+ C \Rightarrow
$$
又：
$$
x=\tan t \Rightarrow t=\arctan x \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2} e^{\arctan x}[\sin (\arctan x)-\cos (\arctan x)]
$$
$$
I=\frac{1}{2} e^{\arctan x}\left[\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right]+ C \Rightarrow
$$
Tips:
上一步的计算方式可以参考《sin(arctan x) 和 cos(arctan x) 怎么算？一张图让你秒懂！》
$$
I=\frac{(x-1) \cdot e^{\arctan x}}{2 \sqrt{1+x^{2}}}+ C \Rightarrow
$$