典型例题汇总：不定积分（凑微分、分部积分、一般有理式积分，三角函数有理式积分等）

题目 05

$$I=\int e^{2x}\arctan \sqrt{e^x-1}\mathrm{d}x=?$$

解析 05

$$I=\int e^{2x}\arctan \sqrt{e^x-1}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}\int \arctan \sqrt{e^x-1}\mathrm{d}\left(e^{2x}\right)\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{e}^{2x}\arctan \sqrt{e^x-1}-\frac{1}{2}\int e^{2x}\mathrm{d}(\arctan \sqrt{x^x-1})$$

又：

$${(\arctan \sqrt{e^x-1})}^{\prime }=\frac{1}{1+e^x-1}\cdot \frac{1}{2}\frac{e^x}{\sqrt{e^x-1}}\Rightarrow$$

$${(\arctan \sqrt{e^x-1})}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{e^x-1}}$$

于是：

$$I=\frac{1}{2}{e}^{2x}\cdot \arctan \sqrt{e^x-1}-\frac{1}{4}\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}}\mathrm{d}x=\int \frac{e^x}{\sqrt{e^x-1}}\mathrm{d}\left(e^x\right)\Rightarrow$$

令：

$$t=e^x\Rightarrow$$

$$\int \frac{t}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\int \frac{t-1+1}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t\Rightarrow \int \frac{t-1}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t+\int \frac{1}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t=$$

$$\int \sqrt{t-1}\mathrm{d}t+\int \frac{1}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3}(t-1{)}^{\frac{3}{2}}+2(t-1{)}^{\frac{1}{2}}+C_1\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{e}^{2x}\cdot \arctan \sqrt{e^x-1}-\frac{1}{4}[\frac{2}{3}(t-1)\cdot \sqrt{t-1}+$$

$$2\sqrt{t-1}+C_1]\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{e}^{2x}\cdot \arctan \sqrt{e^x-1}-[\frac{1}{6}(t-1)\sqrt{t-1}+$$

$$\frac{1}{2}\sqrt{t-1}+C_1]\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{e}^{2x}\cdot \arctan \sqrt{e^x-1}-[(\frac{1}{6}t+\frac{2}{6})\sqrt{t-1}+C_1]$$

$$I=\frac{1}{2}{e}^{2x}\cdot \arctan \sqrt{e^x-1}-\frac{1}{6}(e^x+2)\sqrt{e^x-1}+C$$

计算 $\int \frac{t}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t$ 的第二种方法（整体代换去根号）：

$$\int \frac{t}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

令：

$$k=\sqrt{t-1}\Rightarrow$$

$$k^2=t-1\Rightarrow t=k^2+1$$

则：

$$\int \frac{t}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t=\int \frac{k^2+1}{k}\mathrm{d}(k^2+1)\Rightarrow$$

$$\int \frac{k^2+1}{k}\cdot 2k\mathrm{d}k\Rightarrow 2\int (k^2+1)\mathrm{d}k=$$

$$2[\frac{1}{3}{k}^3+k]=\frac{2}{3}{k}^3+2k$$

即：

$$\int \frac{t}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t=\frac{2}{3}(t-1)\sqrt{t-1}+2\sqrt{t-1}+C$$

$$=\frac{2}{3}(t+2)\cdot \sqrt{t-1}$$

计算 $\int \frac{t}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t$ 的第三种方法（凑分部积分）：

$$\int \frac{t}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

又：

$${[(t-1{)}^{\frac{1}{2}}]}^{\prime }=\frac{1}{2}(t-1{)}^{\frac{-1}{2}}\Rightarrow$$

于是：

$$\int \frac{t}{\sqrt{t-1}}\mathrm{d}t=2\int t\mathrm{d}(\sqrt{t-1})=$$

$$2[t\sqrt{t-1}-\int \sqrt{t-1}\mathrm{d}t]=$$

$$2t\sqrt{t-1}-2\times \frac{2}{3}(t-1{)}^{\frac{3}{2}}+C=$$

$$2t\sqrt{t-1}-2\times \frac{2}{3}(t-1)\sqrt{t-1}+C=$$

$$(2t-\frac{4}{3}t+\frac{4}{3})\sqrt{t-1}+C=\frac{2}{3}(t+2)\sqrt{t-1}+C$$