典型例题汇总：不定积分（凑微分、分部积分、一般有理式积分，三角函数有理式积分等）

题目 04

$$I=\int e^x\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}\mathrm{d}x=?$$

解析 04

Tips:

在分部积分中，一般把能够很容易做求导运算的部分凑到积分符号 $\mathrm{d}$ 中。

$$I=\int \arcsin \sqrt{1-e^{2x}}\mathrm{d}\left(e^x\right)\Rightarrow$$

分部积分：

$$I=e^x\cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2x}}-\int e^x\mathrm{d}(\arcsin \sqrt{1-e^{2x}})\Rightarrow$$

又：

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

于是：

$$I=e^x\cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2x}}-\int 1\mathrm{d}\left(\sqrt{1-e^{2x}}\right)\Rightarrow$$

$$I=e^x\cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2x}}-\sqrt{1-e^{2x}}+C$$