题目 04
$$
I=\int e^{x} \arcsin \sqrt{1-e^{2 x}} \mathrm{~ d} x=?
$$
解析 04
Tips:
在分部积分中，一般把能够很容易做求导运算的部分凑到积分符号 $\mathrm{d}$ 中。
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I=\int \arcsin \sqrt{1-e^{2 x}} \mathrm{~ d} \left(e^{x}\right) \Rightarrow
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分部积分：
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I=e^{x} \cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2 x}}-\int e^{x} \mathrm{~ d} \left(\arcsin \sqrt{1-e^{2 x}}\right) \Rightarrow
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又：
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(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$
于是：
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I=e^{x} \cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2 x}}-\int 1 \mathrm{~ d} \left(\sqrt{1-e^{2 x}}\right) \Rightarrow
$$
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I=e^{x} \cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2 x}}-\sqrt{1-e^{2 x}}+ C
$$