题目 02
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I=\int \frac{\ln \tan x}{\sin 2 x} \mathrm{~ d} x=?
$$
解析 02
Tips:
对于全部是三角函数的被积函数式，有两种解题思路：一种是将 $\sin$ 全转换为 $\cos$, 或者将 $\cos$ 全转换为 $\sin$; 另一种就是将 $\sin$ 与 $\cos$ 都转换为 $\tan$.
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I=\int \frac{\ln \tan x \mathrm{~ d} x}{\sin 2 x}=\int \frac{\ln \tan x}{2 \sin x \cos x} \mathrm{~ d} x
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又：
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(\tan x)^{\prime}=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} = \frac{1}{\cos ^{2} x}
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于是：
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I=\int \frac{\ln \tan x}{2 \sin x \cos x} \cdot \cos ^{2} x \mathrm{~ d} (\tan x) \Rightarrow
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I=\int \frac{\cos ^{2} x \ln \tan x}{2 \sin x \cos x} \mathrm{~ d} (\tan x) \Rightarrow
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I=\int \frac{\cos x \ln \tan x}{2 \sin x} \mathrm{~ d} (\tan x) \Rightarrow
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I=\int \frac{\ln \tan x}{2 \frac{\sin x}{\cos x}} \mathrm{~ d} (\tan x)=\int \frac{\ln \tan x}{2 \tan x} \mathrm{~ d} (\tan x)
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令：
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t=\tan x
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则：
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I=\int \frac{\ln (t)}{2(t)} \mathrm{~ d} (t)=\frac{1}{2} \int \ln (t) \mathrm{~ d} (\ln t) \Rightarrow
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\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\ln t)^{2}+ C=\frac{1}{4}(\ln \tan x)^{2}+ C
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