典型例题汇总：不定积分（凑微分、分部积分、一般有理式积分，三角函数有理式积分等）

题目 02

$$I=\int \frac{\ln \tan x}{\sin 2x}\mathrm{d}x=?$$

解析 02

Tips:

对于全部是三角函数的被积函数式，有两种解题思路：一种是将 $\sin$ 全转换为 $\cos$, 或者将 $\cos$ 全转换为 $\sin$; 另一种就是将 $\sin$ 与 $\cos$ 都转换为 $\tan$.

$$I=\int \frac{\ln \tan x\mathrm{d}x}{\sin 2x}=\int \frac{\ln \tan x}{2\sin x\cos x}\mathrm{d}x$$

又：

$$(\tan x{)}^{\prime }={\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\prime }=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

于是：

$$I=\int \frac{\ln \tan x}{2\sin x\cos x}\cdot {\cos }^{2}x\mathrm{d}(\tan x)\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{{\cos }^{2}x\ln \tan x}{2\sin x\cos x}\mathrm{d}(\tan x)\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{\cos x\ln \tan x}{2\sin x}\mathrm{d}(\tan x)\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{\ln \tan x}{2\frac{\sin x}{\cos x}}\mathrm{d}(\tan x)=\int \frac{\ln \tan x}{2\tan x}\mathrm{d}(\tan x)$$

令：

$$t=\tan x$$

则：

$$I=\int \frac{\ln (t)}{2(t)}\mathrm{d}(t)=\frac{1}{2}\int \ln (t)\mathrm{d}(\ln t)\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(\ln t{)}^2+C=\frac{1}{4}(\ln \tan x{)}^2+C$$