等差数列和等比数列的前 n 项和公式你还记得吗？

一、题目

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n+n})=?$$

难度评级：

二、解析

公差为 $d$ 的等差数列前 $n$ 项和：

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)d}{2}$$

公差为 $d$ 的等差数列第 $n$ 项表达式：

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

公比为 $q$ 的等比数列前 $n$ 项和：

$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$

公比为 $q$ 的等比数列第 $n$ 项表达式：

$$a_n=a_1{q}^{n-1}$$

令：

$$I_1=\frac{1+2+3+\cdots +n}{n^2+n+1}=$$

$$\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n^2+n+1}=$$

$$\frac{1}{2}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=\frac{1}{2}\frac{n^2}{n^2}=\frac{1}{2}⩾I$$

又令：

$$I_2=\frac{1+2+\cdots +n}{n^2+n+n}=$$

$$\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n^2+n+n}=$$

$$\frac{1}{2}\frac{n^2+n}{n^2+2n}=\frac{1}{2}\frac{n^2}{n^2}=\frac{1}{2}⩽I$$

于是：

$$I_2⩽I⩽I_1\Rightarrow \frac{1}{2}⩽I⩽\frac{1}{2}\Rightarrow I=\frac{1}{2}$$

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