以复合函数为桥梁,将“偏导”变为“导”,进而转化为微分方程 一、题目 已知,u = u(x2+y2) 其中,r=x2+y2>0 有二阶连续的偏导数,且满足: ∂2u∂x2+∂2u∂y2−1x∂u∂x+u=x2+y2 则 u(x2+y2)=? 难度评级: 二、解析 可以将 u(x2+y2) 看作是 u(r) 和 r(x,y)=x2+y2 的复合函数,于是: ∂u∂x= du dr⋅∂r∂x= du dr⋅2x2(x2+y2)−12⇒ ∂u∂x= du dr⋅xr⇒ ∂2u∂x2=∂∂x(∂u∂x)=∂∂x( du dr⋅xr)= d dx( du dr)⋅xr+ du dr⋅r−x⋅xrr2= d dr du dr⋅∂r∂x⋅xr+ du dr(1r−x2r3)= d2u dr2⋅x2r2+ du dr(1r−x2r3) 又由 r=x2+y2 中 x 和 y 的对称性可知: ∂2u∂y2=d2u dr2⋅y2r2+ du dr(1r−y2r3) 于是: ∂2u∂x2+∂2u∂y2−1x∂u∂x+u=x2+y2⇒ d2u dr2⋅x2r2+ du dr(1r−x2r3)+ d2u dr2⋅y2r2+ du dr(1r−y2r3)−1x⋅ du dr⋅xr+u=r2⇒ d2u dr2(x2+y2r2)+ du dr(2r−x2+y2r3)−1r⋅ du dr+u=r2⇒ d2u dr2+1r du dr−1r du dr+u=r2⇒ d2u dr2+u=r2⇒ 我们可以将 u 和 r 写成 y 与 x 的形式,以符合我们常见的形式,从而更方便的完成计算: y′′+y=x2⇒λ2+1=0⇒λ=0±1 y∗=e0x⋅(C1cosx+C2sinx)⇒ y∗=C1cosr+C2sinr Y∗=xkQn(x)eμx⇒μ=0,μμ≠λ1,μ≠λ2 ⇒k=0⇒Y∗=Qn(x)=Ax2+Bx+C⇒ Y∗′=2Ax+B Y∗′′=2A⇒ 2A+Ax2+Bx+C=x2⇒ {A=1B=0C=−2⇒Y∗=x2−2⇒Y∗=r2−2 Y=u(r)=C1cosr+C2sinr+r2−2⇒ ux2+y2= C1cosx2+y2+C2sinx2+y2+x2+y2−2 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 2016年考研数二第17题解析:利用偏导数求函数极值 二元三重复合函数求导法则(B012) 一个复合函数求二阶偏导的例题:u(x,y) = u(x2+y2) 二元二重复合函数求导法则(B012) 旋度的定义(B022) 斯托克斯公式(B021) [高数]记录一个较复杂的复合函数求偏导过程 2014年考研数二第18题解析:偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程 2015年考研数二第05题解析 考研线性代数:行列式部分初级专项练习题(2024 年) 用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目 用公式法求解隐函数的偏导数时要对所有变量“一视同仁”:公式法求偏导时没有谁是谁的函数,谁是谁的自变量之别 当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时,也可以尝试使用极坐标系求解 你知道怎么求解这个隐藏在偏微分方程后面的一阶线性微分方程吗 高斯公式/高斯定理(B021) 在不进行积分运算的情况下,通过偏微分方程求解原函数 计算微分方程 y′′ + 2my′ + n2y = 0 满足一定条件特解的无穷限反常积分 2018年考研数二第19题解析:条件极值、拉格朗日乘数法 对于这类不问“是什么”,而是问“不是什么”的题目要格外注意 2016年考研数二第23题解析:相似对角化、特征值、特征向量、线性表示 求二阶偏导的小技巧:复用一阶偏导的部分结果 2017年考研数二第23题解析:二次型、标准型、特征值与特征向量 计算平面曲线的弧长需要知道积分上下限,但如果这个积分上线限题目中没有给出该怎么办? 二次型中标准型所用的特征值的书写顺序有特殊规定吗?没有,但一般按照从小到大,或者从大到小的顺序写——如果有特征向量,则特征值要与特征向量顺序保持一致 这道题中的矩阵虽然很“宽”,但其实是一个单列矩阵