以复合函数为桥梁,将“偏导”变为“导”,进而转化为微分方程

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,u = u(x2+y2) 其中,r=x2+y2>0 有二阶连续的偏导数,且满足:

2ux2+2uy21xux+u=x2+y2

u(x2+y2)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

可以将 u(x2+y2) 看作是 u(r)r(x,y)=x2+y2 的复合函数,于是:

ux= du drrx= du dr2x2(x2+y2)12

ux= du drxr

2ux2=x(ux)=x( du drxr)=

d dx( du dr)xr+ du drrxxrr2=

d dr du drrxxr+ du dr(1rx2r3)=

d2u dr2x2r2+ du dr(1rx2r3)

又由 r=x2+y2xy 的对称性可知:

2uy2=d2u dr2y2r2+ du dr(1ry2r3)

于是:

2ux2+2uy21xux+u=x2+y2

d2u dr2x2r2+ du dr(1rx2r3)+

d2u dr2y2r2+ du dr(1ry2r3)1x du drxr+u=r2

d2u dr2(x2+y2r2)+ du dr(2rx2+y2r3)1r du dr+u=r2

d2u dr2+1r du dr1r du dr+u=r2

d2u dr2+u=r2

我们可以将 ur 写成 yx 的形式,以符合我们常见的形式,从而更方便的完成计算:

y+y=x2λ2+1=0λ=0±1

y=e0x(C1cosx+C2sinx)

y=C1cosr+C2sinr

Y=xkQn(x)eμxμ=0,μμλ1,μλ2

k=0Y=Qn(x)=Ax2+Bx+C

Y=2Ax+B

Y=2A

2A+Ax2+Bx+C=x2

{A=1B=0C=2Y=x22Y=r22

Y=u(r)=C1cosr+C2sinr+r22

ux2+y2=

C1cosx2+y2+C2sinx2+y2+x2+y22


荒原之梦考研数学思维导图
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