对于无法凑项消去的反常积分可以尝试倒数代换或者三角代换

一、题目

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+x^2)(1+x^4)}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

解法一：倒数代换

Tips:

本题所给的式子本身是没办法直接进行积分运算的，同时，我们也没办法通过在分子中“凑项”的方式完成对分母中式子的降阶或者消去。因此，我们只能采取倒数代换或者三角代换的方式求解。

已知：

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+x^2)(1+x^4)}\mathrm{d}x$$

若令 $x=\frac{1}{t}$, 则：

$$x\in (0,+\mathrm{\infty })\Rightarrow t\in (+\mathrm{\infty },0)$$

$$\mathrm{d}x=\frac{-1}{t^2}\mathrm{d}t$$

于是：

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+x^2)(1+x^4)}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_{+\mathrm{\infty }}^0\frac{1}{(1+\frac{1}{t^2})(1+\frac{1}{t^4})}\cdot \frac{-1}{t^2}\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^4}{(1+\frac{1}{t^2})(1+\frac{1}{t^4})}\cdot \frac{1}{t^2\cdot t^4}\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^4}{t^2(1+\frac{1}{t^2})\times t^4(1+\frac{1}{t^4})}\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^4}{(1+t^2)(1+t^4)}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I_1={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^4}{(1+x^2)(1+x^4)}\mathrm{d}x$$

于是：

$$I=I_1\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}(I+I_1)=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1+t^4}{(1+x^2)(1+x^4)}\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{2}\arctan x{|}_0^{+\mathrm{\infty }}\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}-0)=\frac{\pi }{4}$$

解法二：三角代换

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+x^2)(1+x^4)}\mathrm{d}x$$

令 $x=\tan t$, 则：

$$x\in (0,+\mathrm{\infty })\Rightarrow t\in (0,\frac{\pi }{2})$$

$$1+x^2=1+{\tan }^{2}t=$$

所有三角函数的式子都要往 $\sin$ 与 $\cos$ 的形式上凑：

$$\frac{{\cos }^{2}t}{{\cos }^{2}t}+\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}=\frac{1}{{\cos }^{2}t}={\sec }^{2}t$$

$$1+x^4=1+{\tan }^{4}t$$

$$\mathrm{d}x=\mathrm{d}\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)$$

$$\frac{{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t\Rightarrow {\sec }^{2}t\mathrm{d}t$$

于是：

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+x^2)(1+x^4)}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sec }^{2}t\mathrm{d}t}{{\sec }^{2}t(1+{\tan }^{4}t)}=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+{\tan }^{4}t}\mathrm{d}t=$$

所有三角函数的式子都要往 $\sin$ 与 $\cos$ 的形式上凑：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{{\left(\frac{\cos t}{\cos t}\right)}^4+{\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)}^4}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\cos }^{4}t}{{\sin }^{4}t+{\cos }^{4}t}\mathrm{d}t$$

令 $t=-u+\frac{\pi }{2}$, 则：

$$t\in (0,\frac{\pi }{2})\Rightarrow u\in (\frac{\pi }{2},0)$$

$$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$$

于是：

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\cos }^{4}t}{{\sin }^{4}t+{\cos }^{4}t}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

“奇变偶不变，符号看象限”：

$$I_2={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{4}t}{{\cos }^{4}t+{\sin }^{4}t}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=I_2\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}(I+I_2)=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{4}t+{\cos }^{4}t}{{\sin }^{4}t+{\cos }^{4}t}\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1\mathrm{d}t=\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}-0)=\frac{\pi }{4}$$

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