对于无法凑项消去的反常积分可以尝试倒数代换或者三角代换

一、题目题目 - 荒原之梦

I=0+1(1+x2)(1+x4) dx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法一:倒数代换

Tips:

本题所给的式子本身是没办法直接进行积分运算的,同时,我们也没办法通过在分子中“凑项”的方式完成对分母中式子的降阶或者消去。因此,我们只能采取倒数代换或者三角代换的方式求解。

已知:

I=0+1(1+x2)(1+x4) dx

若令 x=1t, 则:

x(0,+)t(+,0)

 dx=1t2 dt

于是:

I=0+1(1+x2)(1+x4) dx=

+01(1+1t2)(1+1t4)1t2 dt=

0+t4(1+1t2)(1+1t4)1t2t4 dt=

0+t4t2(1+1t2)×t4(1+1t4) dt=

0+t4(1+t2)(1+t4) dt

I1=0+x4(1+x2)(1+x4) dx

于是:

I=I1

I=12(I+I1)=

120+1+t4(1+x2)(1+x4) dt=

120+11+x2 dx=

12arctanx|0+

I=12(π20)=π4

解法二:三角代换

I=0+1(1+x2)(1+x4) dx

x=tant, 则:

x(0,+)t(0,π2)

1+x2=1+tan2t=

所有三角函数的式子都要往 sincos 的形式上凑:

cos2tcos2t+sin2tcos2t=1cos2t=sec2t

1+x4=1+tan4t

 dx= d(sintcost)

cos2t+sin2tcos2t dt=1cos2t dtsec2t dt

于是:

I=0+1(1+x2)(1+x4) dx=

0π2sec2t dtsec2t(1+tan4t)=

0π211+tan4t dt=

所有三角函数的式子都要往 sincos 的形式上凑:

0π21(costcost)4+(sintcost)4 dt

I=0π2cos4tsin4t+cos4t dt

t=u+π2, 则:

t(0,π2)u(π2,0)

 dt= du

于是:

I=0π2cos4tsin4t+cos4t dt

“奇变偶不变,符号看象限”:

I2=0π2sin4tcos4t+sin4t dt

I=I2

I=12(I+I2)=

120π2sin4t+cos4tsin4t+cos4t dt=

120π21 dt=12(π20)=π4


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress