用公式法求解隐函数的偏导数时要对所有变量“一视同仁”:公式法求偏导时没有谁是谁的函数,谁是谁的自变量之别

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 z=z(x,y)ez+xz=2xy 确定,则 2zx2|(1,1)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法一:用隐函数的基本求导规则计算

(1)ez+xz=2xy

x=1, y=1ez+z=1z=0

又由 (1) 式可得:

(2)zxez+z+xzx=2

x=1, y=1, z=02zx=2zx=1

又由 (2) 式可得:

2zx2ez+zxzxez+zx+zx+x2zx2=0

x=1, y=1, z=0,zx=1

2zx2+1+2+2zx2=0

2zx2=32

解法二:用隐函数的求导公式计算

已知,三个量的隐函数的偏导数求解公式(在代入公式使用的时候,将所有三个变量都视作同等地位即可,不要认为 zxy 的函数):

F(x,y,z)=0,Fz0

zx=Fx(x,y,z)Fz(x,y,z),zy=Fy(x,y,z)Fz(x,y,z)

计算步骤如下:

ez+xz=2xy

(1)ez+xz2x+y

(1) 式对 x 求偏导得:z2

(1) 式对 z 求偏导得:ez+x

于是:

(2)zx=x 偏导 z 偏导 =z2ez+x

x=1,y=1 代入 (1) 式,得:

z=0

x=1,y=1,z=0 代入 (2) 式,得:

zx=1

在 (2) 式中继续对 x 求偏导,得:

(3)x(zx)=zx(e2+x)(z2)(e2zx+1)(e2+x)2

x=1,y=1,z=0,zx=1

2zx2=1×(1+1)(2)(1×1+1)(1+1)2

2zx2=2+2×24=64=32


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