计算平面曲线的弧长需要知道积分上下限,但如果这个积分上线限题目中没有给出该怎么办?

一、题目题目 - 荒原之梦

曲线 y=3x3t2 dt 的弧长等于多少?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

根据《考研数学中计算平面曲线弧长的全部公式》这篇文章可知,计算普通方程表示的平面曲线的弧长的公式为:

l=ab1+y2(x) dx dx(a,b)

又:

y=3x3t2 dt

y=3x2

虽然题目中并没有给出 y(x) 的取值范围,也就是我们计算平面曲线弧长所需的定积分上下限,但是,在这里,我们可以通过函数的性质自己求解出来:

3x20x23

x(3,3)

于是:

l=33d1+3x2 dx=

334x2 dx

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以下是对式子 334x2 dx 的解法一:

334x2 dx=

334x22x d(x2)=

x24x22x|3333x2 d(4x22x)

其中:

I1=x24x22x|33=12x4x2|33=3

I2=33x2 d(4x22x)=

33x212(4x2)12(2x)2x24x24x2 dx=

332x24x224x24 dx=

332x22(4x2)44x2 dx=

33844x2 dx=

23314x2 dx=

2×233121(x2)2 d(x2)=

2arcsinx2|33=2(π3+π3)=4π3

于是:

l=I1I2=3+43π

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以下是对式子 334x2 dx 的解法二:

l=334x2 dx

x=2sintsint(32,32)

t(π3,π3)

4x2=44sin2t=4cos2t

 dx=2cost dt

l=π3π32cost2cost dt=4π3π3cos2t dt

cos2α=2cos2α1

12(cos2t+1)=cos2t

l=4×12π3π3(cos2t+1) dt

l=2π3π3(cos2t+1) dt=2(12sin2t+t)|π3π3=

sin2t|π3π3+2t|π3π3=(32+32)+43π

l=3+43π


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