这道高等数学物理应用题不用微积分真的做不出来

一、题目

现在，用锤子将一铁钉打击进木板，已知木板对铁钉的阻力与铁钉击人木板的深度成正比。且在铁锤击打第一次时能把铁钉击人 $1\mathrm{cm}$, 如果铁锤每次击打做的功相等，则第二次能把铁钉击入多少 $\mathrm{cm}$ ?

难度评级：

二、解析

由题可知，若击打进入的深度为 $x$, 则对应的阻力应为 $kx$, 其中 $k$ 为某常数。

因此，第一次击打做的功 $W_1$ 为：

$$W_1={\int }_0^{1}kx\mathrm{d}x={k\frac{1}{2}{x}^2|}_0^1=\frac{1}{2}k$$

第二次击打做的功 $W_2$ 为：

$$W_2={\int }_1^{l}kx\mathrm{d}x=k(\frac{1}{2}{l}^2-\frac{1}{2})$$

又由 $W_1=W_2$ 可知：

$$\frac{1}{2}k=k(\frac{1}{2}{l}^2-\frac{1}{2})\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{l}^2-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{2}{l}^2=1\Rightarrow$$

$$l^2=2\Rightarrow$$

$$l=\sqrt{2}(>0)$$

综上可知，第二次能把铁钉击入 $\sqrt{2}\mathrm{cm}$.

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