这道题要用凑微分和分部积分：但是别着急上来就用哦

一、题目

$$
I=\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{~ d} x=?
$$

难度评级：

二、解析

1. 错误的解题思路：一开始就想用凑微分直接算

$$
I=\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{~ d} x=\int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~ d} (\arctan x)=
$$

$$
\frac{(\arctan x)^{2}}{x^{2}}-\int \arctan x \mathrm{~ d} \left(\frac{\arctan x}{x^{2}}\right) \Rightarrow
$$

$$
\text{接下来。。。没思路了。。。}
$$

2. 正确的解题思路：先拆分化简再用凑微分和分部积分

$$
I=\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\int \arctan x \cdot\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}}\right) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~ d} x-\int \frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~ d} x
$$

接着：

$$
I = \int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~ d} x=-\int \arctan x \mathrm{~ d} \left(\frac{1}{x}\right)=
$$

$$
-\left[\frac{\arctan x}{x}-\int\left(\frac{1}{ \textcolor{orange}{x} } \cdot \frac{1}{1+x^{2}}\right) \mathrm{~ d} \textcolor{orange}{x} \right]=
$$

$$
-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{ \textcolor{orange}{x^{2}} } \cdot \frac{1}{1+x^{2}}\right) \mathrm{~ d} \left( \textcolor{orange}{x^{2} }\right)=
$$

$$
-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}}\right) \mathrm{~ d} x^{2}=
$$

$$
-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2}\left(\ln x^{2}-\ln \left(1+x^{2}\right)=\right.
$$

$$
-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2} \ln \frac{x^{2}}{1+x^{2}} + C_{1}
$$

又：

$$
\int \frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~ d} x=\int \arctan x \mathrm{~ d} (\arctan x)=
$$

$$
\frac{1}{2}(\arctan x)^{2} + C_{2}
$$

因此：

$$
I=-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2} \ln \frac{x^{2}}{1+x^{2}}-\frac{1}{2}(\arctan x)^{2}+C
$$

其中，$C$ 为任意常数。

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