这道题要用凑微分和分部积分：但是别着急上来就用哦

一、题目

$$I=\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

1. 错误的解题思路：一开始就想用凑微分直接算

$$I=\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x=\int \frac{\arctan x}{x^2}\mathrm{d}(\arctan x)=$$

$$\frac{(\arctan x{)}^2}{x^2}-\int \arctan x\mathrm{d}\left(\frac{\arctan x}{x^2}\right)\Rightarrow$$

$$\text{接下来。。。没思路了。。。}$$

2. 正确的解题思路：先拆分化简再用凑微分和分部积分

$$I=\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\int \arctan x\cdot (\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2})\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{\arctan x}{x^2}\mathrm{d}x-\int \frac{\arctan x}{1+x^2}\mathrm{d}x$$

接着：

$$I=\int \frac{\arctan x}{x^2}\mathrm{d}x=-\int \arctan x\mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)=$$

$$-[\frac{\arctan x}{x}-\int (\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1+x^2})\mathrm{d}x]=$$

$$-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2}\int (\frac{1}{x^2}\cdot \frac{1}{1+x^2})\mathrm{d}\left(x^2\right)=$$

$$-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2}\int (\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2})\mathrm{d}{x}^2=$$

$$-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2}(\ln x^2-\ln (1+x^2)=$$

$$-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2}\ln \frac{x^2}{1+x^2}+C_1$$

又：

$$\int \frac{\arctan x}{1+x^2}\mathrm{d}x=\int \arctan x\mathrm{d}(\arctan x)=$$

$$\frac{1}{2}(\arctan x{)}^2+C_2$$

因此：

$$I=-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2}\ln \frac{x^2}{1+x^2}-\frac{1}{2}(\arctan x{)}^2+C$$

其中，$C$ 为任意常数。

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