正定二次型是对应的二次型矩阵的各阶顺序主子式都大于零而不是不等于零

一、题目

当 $t$ 满足什么条件时，可以保证二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 是正定的？

难度评级：

二、解析

$$
\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & t \\ 0 & t & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & t \\ 0 & t & 1\end{array}\right|>0 \Rightarrow
$$

$$
1-2 t^{2}>0 \Rightarrow 1>2 t^{2} \Rightarrow t^{2}<\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
\frac{-1}{\sqrt{2}}<t<\frac{1}{\sqrt{2}}
$$

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