证明中值等式成立问题的两种思路：构造函数后用零点定理或罗尔定理

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ ${\int }_1^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t$

请证明：存在 $\xi \in (1,2)$, 使 $f(\xi )=(2-\xi )e^{{\xi }^2}$ 成立。

难度评级：

二、解析

方法一：构造函数之后用零点定理

构造函数：

$$f(\xi )=(2-\xi )e^{{\xi }^2}\Rightarrow$$

$$f(\xi )-(2-\xi )e^{{\xi }^2}=0\Rightarrow$$

$$F(x)=f(x)+(x-2)e^{x^2}\Rightarrow$$

$$F(x)={\int }_1^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t+(x-2)e^{x^2}$$

于是，当 $x=1$ 时：

$$F(1)=0-e<0$$

当 $x=2$ 时：

$$F(2)={\int }_1^2{e}^{t^2}\mathrm{d}t>0\Rightarrow$$

因此：

$$\mathrm{\exists }\xi \in (1,2)\Rightarrow F(\xi )=0\Rightarrow$$

$$f(\xi )-(2-\xi )e^{{\xi }^2}=0\Rightarrow$$

$$f(\xi )=(2-\xi )e^{{\xi }^2}$$

方法二：构造函数之后用罗尔定理

Tips:

罗尔中值定理：当 $f(a)=f(b)$ 时，一定存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$ 存在。

因为：

$$f(x)={\int }_1^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=e^{x^2}$$

且：

$$f(\xi )=(2-\xi )e^{{\xi }^2}$$

于是，可以构造函数：

$$F(x)=(2-x)f(x)$$

右：

$$F(1)=F(2)=0$$

于是：

$$\mathrm{\exists }\xi \in (1,2)\Rightarrow F^{\prime }(\xi )=0$$

又：

$$F^{\prime }(x)=-f(x)+(2-x)f^{\prime }(x)$$

所以：

$$-f(\xi )+(2-\xi )\cdot e^{{\xi }^2}=0\Rightarrow$$

$$(2-\xi )\cdot e^{{\xi }^2}=f(\xi )$$

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