X 轴和 Y 轴分量上的偏导数本质上就是一元函数的导数

一、题目

已知函数 $f(x, y)$ 可微，且对于任意的 $x, y$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} > 0$, $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$, 且不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)<f\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 成立，则 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间以及 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 之间必须满足什么条件？

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二、解析

$$
f_{x}^{\prime}>0 \Rightarrow f\left(x_{1}, 0\right)<f\left(x_{2}, 0\right) \Rightarrow x_{1}<x_{2}
$$

$$
f_{y}^{\prime}<0 \Rightarrow f\left(0, y_{1}\right) < f\left(0, y_{2}\right) \Rightarrow y_{1} > y_{2}
$$

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