涉及斜率（一阶偏导数）和函数值大小于自变量的大小关系的问题可以尝试用画图的方式解决

一、题目

已知，可微函数 $f(x,y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial x}>1$, $\frac{\partial f}{\partial y}<-1$, $f(0,0)=0$, 则下列结论正确的是

(A) $f(1,-1)>2$.

(B) $f(-1,1)>-2$.

(C) $f(-1,-1)<0$.

(D) $f(1,1)>1$.

难度评级：

二、解析

方法一：画图法

如图 01 所示，图中两条实直线的斜率分别是 $1$ 和 $-1$，则由 $\frac{\partial f}{\partial x}>1$ 可知，$f$ 应该经过 $A$ 点，又由 $\frac{\partial f}{\partial y}<-1$ 可知，$f$ 还应该经过 $B$ 点，对应的函数值都是 $C$ 点，且：

$$C>1$$

则可知：

$$f(1,-1)>2$$

即，(A) 选项正确。

方法二：拉格朗日中值定理

(A) 选项：

$$f(1,-1)=f(1,-1)-f(0,0)=$$

$$[f(1,-1)-f(0,-1)]+[f(0,-1)-f(0,0)]\Rightarrow$$

根据拉格朗日中值定理可知：

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi ),\xi \in (a,b)$$

于是：

$$\frac{f(1,-1)-f(0,-1)}{1-0}=f_x^{\prime }(\xi ),\xi \in (0,1)\Rightarrow$$

$$f(1,-1)-f(0,-1)=f_x^{\prime }(\xi ,-1)\Rightarrow$$

$$\frac{f(0,-1)-f(0,0)}{-1-0}=f_y^{\prime }(\eta ),\eta \in (-1,0)\Rightarrow$$

$$f(0,-1)-f(0,0)=-f_y^{\prime }(0,\eta )$$

即：

$$f(1,-1)=f_x^{\prime }(\xi ,-1)-f_y^{\prime }(0,\eta )>1-(-1)=2$$

(B) 选项：

$$f(-1,1)=f(-1,1)-f(0,0)=$$

$$[f(-1,1)-f(0,1)]+[f(0,1)-f(0,0)]=$$

$$-f_x^{\prime }(\xi ,1)+f_y^{\prime }(0,\eta )<-1-1=-2$$

(C) 选项：

$$f(-1,-1)=f(-1,-1)-f(0,0)=$$

$$[f(-1,-1)-f(-1,0)]+[f(-10,0)-f(0,0)]=$$

$$-f_y^{\prime }(-1,\xi )-f_x^{\prime }(1,0)<0\text{ 或者 }>0$$

(D) 选项：

$$f(1,1)=f(1,1)-f(0,0)=$$

$$[f(1,1)-f(1,0)]+[f(1,0)-f(0,0)]=$$

$$f_y^{\prime }(1,\xi )+f_x^{\prime }(0,0)>1\text{ 或者 }<1$$

综上可知，(A) 选项正确。

方法二：特例法

另：

$$f(x,y)=1.1x-1.1y$$

则：

$$(A)\Rightarrow f(1,-1)=1.1+1.1>2$$

$$(B)\Rightarrow f(-1,1)=-1.1-1.1=-2,2<-2$$

$$(C)\Rightarrow f(-1,-1)=-1.1+1.1=0\nless 0$$

$$(D)\Rightarrow f(1,1)=1.1-1.1=0<1$$

综上可知，(B), (C), (D) 选项都可以被排除，只能选 (A).