为什么在加减运算中有无穷大时可以“取大头”，有无穷小时不能“去小头”呢？

一、题目

已知 $f(x)$ 导数连续且 $f^{\prime }(1)=1$, 则当 $x\to 0$ 时, 函数 $f(\cos x)-f\left(\frac{2}{2-x^2}\right)$ 是 $x$ 的几阶无穷小？

难度评级：

加减运算中的无穷小为什么不能直接舍去？做了这道题你就明白了！

二、解析

方法一：直接求导

Tips:

求导会降阶，因此，虽然本方法计算出来的结果是 $x$ 的一阶无穷小，但表名原式是 $x$ 的二阶无穷小。

$$f(\cos x)-f\left(\frac{2}{2-x^2}\right)\Rightarrow$$

求导：

$$f^{\prime }(\cos x)\cdot (-\sin x)-f^{\prime }\left(\frac{2}{2-x^2}\right)\cdot \frac{4x}{{(2-x^2)}^2}\Rightarrow$$

$$-\sin x-\frac{4x}{4}=-(\sin x+x)=-2x$$

由于 $(-x^2{)}^{\prime }=-2x$, 因此，当 $x\to 0$ 时, 函数 $f(\cos x)-f\left(\frac{2}{2-x^2}\right)$ 是 $x$ 的 $2$ 阶无穷小。

方法二：特例法

令：

$$f(x)=x$$

则：

$$f^{\prime }(1)=1$$

于是：

$$f(\cos x)-f\left(\frac{2}{2-x^2}\right)=\cos x-\frac{2}{2-x^2}=$$

$$\cos x–\frac{(2–x^2)+x^2}{2–x^2}=$$

$$\cos x–\frac{(2–x^2)+x^2}{2–x^2}=$$

$$\cos x–1–\frac{x^2}{2–x^2}=$$

$$\cos x–1–\frac{1}{\frac{2}{x^2}–1}=$$

$$\cos x–1–\frac{1}{\frac{2}{x^2}}=$$

$$\cos x–1–\frac{x^2}{2}=-\frac{x^2}{2}–\frac{x^2}{2}=-x^2.$$

注意：

虽然当 $x\to 0$ 时，$x^2$ 是 $x$ 的高阶无穷小，但是，无穷小只是趋近于“零”，不足以远小于 $2$, 因此，我们不能直接将 $\frac{x^2}{2–x^2}$ 分母中的 $x^2$ 直接舍去，变成 $\frac{x^2}{2}$——

但是，转变成 $\frac{1}{\frac{2}{x^2}–1}$ 的形式之后，由于当 $x\to 0$ 时，$\frac{2}{x^2}$ 是一个无穷大量，远大于 $1$, 因此，$\frac{1}{\frac{2}{x^2}–1}$ 就可以写成 $\frac{1}{\frac{2}{x^2}}$.

这就是为什么在加减运算中有无穷大时可以“取大头”，但是，有无穷小时不能“去小头”——因为无穷小是指趋于零，而不是 “$-\mathrm{\infty }$”, 达不到远小于常数的程度。

方法三：泰勒公式（通用方法）

已知，函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处的泰勒展开式如下：

$$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\cdot (x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}\cdot {(x-x_0)}^2+\cdots$$

因此：

$$f(\cos x)=f[\cos (0)]+f^{\prime }[\cos (0)]\cdot [\cos x-\cos (0)]$$

$$f(\cos x)=f(1)+f^{\prime }(1)\cdot (\cos x-1)$$

且：

$$f\left(\frac{2}{2-x^2}\right)=f\left[\frac{2}{2-0}\right]+f^{\prime }\left[\frac{2}{2-0}\right]\cdot [\frac{2}{2-x^2}-\frac{2}{2-0}]$$

$$f\left(\frac{2}{2-x^2}\right)=f(1)+f^{\prime }(1)\cdot (\frac{2}{2-x^2}-1)$$

于是：

$$f(\cos x)-f\left(\frac{2}{2-x^2}\right)=$$

$$\cos x-1-(\frac{2}{2-x^2}-1)=\cos x-1-\frac{x^2}{2-x^2}=$$

Tips:

关于 $\frac{x^2}{2-x^2}$ 的计算步骤可以查看前面的【方法二】。

$$-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}{x}^2=-x^2.$$

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