判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！

一、前言

如果二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的偏导数 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 以及 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ 都存在，且下面这个式子的极限值为零，则表明该该二元函数在点 $(x_0,y_0)$ 处可微：

$$\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }x\to 0\\ \mathrm{\Delta }y\to 0\end{array}}{lim}\frac{[f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)–f(x_0,y_0)]–[f_x^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y]}{\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}}$$

但是，上面这个式子你能记住吗？

其实，你已经记住上面这个式子了，不信就继续看下文吧。

二、正文

我们知道，在一元函数中，可导和可微是等价关系，但是，在二元函数中，可（偏）导不一定可微，但可微一定可（偏）导——二元函数中，只有在可（偏）导且连续的情况下，才一定可微。

于是，我们就搞明白了证明二元函数可微的第一个要求，那就是，指定点处的偏导数 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 和 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ 必须都存在。

但是，为了搞明白为什么 $\mathrm{\Delta }x\to 0$, $\mathrm{\Delta }y\to 0$ 时，$\frac{[f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)–f(x_0,y_0)]–[f_x^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y]}{\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}}$ $=$ $0$ 就意味着可微，我们还需要从一元函数入手。

下图是一元函数在一点处微分的示意图，其中红线部分是微分量 $\mathrm{d}y$ ，而实际的改变量是 $\mathrm{\Delta }y$（需要特别注意的是，$\mathrm{d}x=\mathrm{\Delta }x$）：

我们知道，如果一元函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导（也就是该一元函数可微），则：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_0)$$

那么（$\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时）：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_0)\Rightarrow$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}\Rightarrow$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}–\frac{f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=0\Rightarrow$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{[f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)]–[f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x]}{\mathrm{\Delta }x}=0\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{[f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)]–[f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x]}{\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}}=0\end{array}$$

那么，如果我们将一元函数 $f(x)$ 换成二元函数 $f(x,y)$ 呢？只需要在上面 (1) 式的基础上做修改即可（下式中红色的部分就是我们补充上的内容）：

$$\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }x\to 0\\ \mathrm{\Delta }y\to 0\end{array}}{lim}\frac{[f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)–f(x_0,y_0)]–[f_x^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y]}{\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}}$$

现在回头来看就知道了，我们只需要记住一元函数在一点处导数的定义公式，其实就记住了二元函数在一点处可微的定义公式了。

Next

当然，从二元函数可微的定义（同时也是全微分的定义）入手，我们也可以得到验证二元函数是否可微的公式。

首先，我们来看一下二元函数可微的定义（全微分的定义）：

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的某邻域内有定义，分别给 $x,y$ 以增 量 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$, 相应地得到函数的全增传 $\mathrm{\Delta }z$, 若其可表示为：

$$\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho )$$

其中，$\rho$ $=$ $\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}$, $o(\rho )$ 为 $\mathrm{\Delta }x\to 0,\mathrm{\Delta }y\to 0$ 时，$\rho$ 的高阶无穷小，$A,B$ 是常数（与 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ 无关），且 $A=\frac{\partial z}{\partial x}$, $B=\frac{\partial z}{\partial y}$.

满足上述条件，则称函数 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处可微，且 $A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$ 被称为 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处的全微分。

于是我们可知，只要下面这个式子成立，就能说明函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处是可微的（$\mathrm{\Delta }x\to 0$, $\mathrm{\Delta }y\to 0$）：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho )\end{array}$$

其中 $o(\rho )=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}\to 0$

其实，上面的式子 (1) 和我们前文中提到的 $\frac{[f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)]-[f_x^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y]}{\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}}$ 这个式子是等价的，只是表达的形式上不同而已，因为，把这两个式子合并，就会得到：

$$\frac{A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho )-[A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y]}{\rho }=\frac{o(\rho )}{\rho }=0$$

相关例题

1. 二元函数的可微性你会证明吗：偏导数都存在也不一定可微哦
2. 可微（全微分存在）但不一定有偏导数连续

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