判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！

一、前言

如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的偏导数 $f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0})$ 以及 $f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0})$ 都存在，且下面这个式子的极限值为零，则表明该该二元函数在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处可微：

$$
\textcolor{orange}{
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{[f(x_{0} + \Delta x, y_{0} + \Delta y) – f(x_{0}, y_{0})] – [f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0}) \Delta x + f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0}) \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}
}
$$

但是，上面这个式子你能记住吗？

其实，你已经记住上面这个式子了，不信就继续看下文吧。

二、正文

我们知道，在一元函数中，可导和可微是等价关系，但是，在二元函数中，可（偏）导不一定可微，但可微一定可（偏）导——二元函数中，只有在可（偏）导且连续的情况下，才一定可微。

于是，我们就搞明白了证明二元函数可微的第一个要求，那就是，指定点处的偏导数 $f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0})$ 和 $f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0})$ 必须都存在。

但是，为了搞明白为什么 $\Delta x \rightarrow 0$, $\Delta y \rightarrow 0$ 时，$\frac{[f(x_{0} + \Delta x, y_{0} + \Delta y) – f(x_{0}, y_{0})] – [f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0}) \Delta x + f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0}) \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}$ $=$ $0$ 就意味着可微，我们还需要从一元函数入手。

下图是一元函数在一点处微分的示意图，其中红线部分是微分量 $\mathrm{d} y$ ，而实际的改变量是 $\Delta y$（需要特别注意的是，$\mathrm{d} x = \Delta x$）：

我们知道，如果一元函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导（也就是该一元函数可微），则：

$$
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x} = f^{\prime}(x_{0})
$$

那么（$\Delta x \rightarrow 0$ 时）：

$$
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x} = f^{\prime}(x_{0}) \Rightarrow
$$

$$
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x} = \frac{f^{\prime}(x_{0}) \Delta x}{\Delta x} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x} – \frac{f^{\prime}(x_{0}) \Delta x}{\Delta x} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{[f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0}) ] – [ f^{\prime}(x_{0}) \Delta x] }{\Delta x} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{[f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0}) ] – [ f^{\prime}(x_{0}) \Delta x] }{\sqrt{(\Delta x)^{2}}} = 0 \tag{1}
$$

那么，如果我们将一元函数 $f(x)$ 换成二元函数 $f(x, y)$ 呢？只需要在上面 (1) 式的基础上做修改即可（下式中红色的部分就是我们补充上的内容）：

$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{[f(x_{0} + \Delta x, \textcolor{red}{y_{0} + \Delta y}) – f(x_{0}, \textcolor{red}{y_{0}})] – [f^{\prime}_{x}(x_{0}, \textcolor{red}{y_{0}}) \Delta x + \textcolor{red}{f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0}) \Delta y}]}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + \textcolor{red}{(\Delta y)^{2}}}}
$$

现在回头来看就知道了，我们只需要记住一元函数在一点处导数的定义公式，其实就记住了二元函数在一点处可微的定义公式了。

Next

当然，从二元函数可微的定义（同时也是全微分的定义）入手，我们也可以得到验证二元函数是否可微的公式。

首先，我们来看一下二元函数可微的定义（全微分的定义）：

设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内有定义，分别给 $x, y$ 以增 量 $\Delta x, \Delta y$, 相应地得到函数的全增传 $\Delta z$, 若其可表示为：

$$
\Delta z = A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)
$$

其中，$\rho$ $=$ $\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$, $o(\rho)$ 为 $\Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0$ 时，$\rho$ 的高阶无穷小，$A, B$ 是常数（与 $\Delta x, \Delta y$ 无关），且 $A=\frac{\partial z}{\partial x}$, $B=\frac{\partial z}{\partial y}$.

满足上述条件，则称函数 $f(x, y)$ 在 $(x, y)$ 处可微，且 $A \Delta x+B \Delta y$ 被称为 $f(x, y)$ 在 $(x, y)$ 处的全微分。

于是我们可知，只要下面这个式子成立，就能说明函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处是可微的（$\Delta x \rightarrow 0$, $\Delta y \rightarrow 0$）：

$$
\textcolor{orange}{
f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)= A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)} \tag{1}
$$

其中 $o(\rho)=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} \rightarrow 0$

其实，上面的式子 (1) 和我们前文中提到的 $\frac{\left[f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right]-\left[f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y\right]}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$ 这个式子是等价的，只是表达的形式上不同而已，因为，把这两个式子合并，就会得到：

$$
\frac{A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)-[A \Delta x+B \Delta y]}{\rho} = \frac{o(\rho)}{\rho}=0
$$

相关例题

1. 二元函数的可微性你会证明吗：偏导数都存在也不一定可微哦
2. 可微（全微分存在）但不一定有偏导数连续

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