你知道怎么求解这个隐藏在偏微分方程后面的一阶线性微分方程吗

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(x) 具有一阶连续导数, f(0)=0, du(x,y) = f(x)y dx+[sinxf(x)] dy, 则 f(x) 等于()

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

方法一

已知:

 du(x,y)=f(x)y dx+[sinxf(x)] dy

则:

ux=f(x)yuy=sinxf(x)

于是:

2uxy=f(x)2uyx=cosxf(x)

又:

2uxy=2uyx

因此,我们就得到了如下的一阶线性微分方程:

f(x)=cosxf(x),

f(x)+f(x)=cosx

接着,由一阶线性微分方程的公式可知:

f(x)=[cosxe1 dx dx+C]e1 dx

f(x)=[excosx dx+C]ex.

又:

e2cosx dx=cosxd(ex)=

excosx+sinxd(ex)=

excosx+exsinxexcosx dx

2excosx dx=excosx+exsinx

excosx dx=12(excosx+exsinx)

因此:

f(x)=ex2[excosx+exsinx+C2]

f(0)=0f(0)=12[1+0+C2]C2=1

即:

f(x)=12[cosx+sinxex]

方法二

本题的核心就是求解出隐藏的一阶线性微分方程,对此,还可以采取如下步骤:

 du(x,y)=f(x)y dx+[sinxf(x)] dy

ux=f(x)yuy=sinxf(x)

uy 中对 y 求积分:

u(x,y)=uy dy=[sinxf(x)]1 dy

u(x,y)=[sinyf(x)]y+C(x)

接着,再对上面得到的 u(x,y) = [sinyf(x)]y+C(x)x 求偏导:

[uy dy]x=ux=[cosyf(x)]y+C(x)

代入 ux=f(x)y:

[cosyf(x)]y+C(x)=f(x)y

[cosyf(x)f(x)]y+C(x)=0

又:

y0,C(x)0

f(x)+f(x)=cosy

之后的求解步骤按照方法一进行即可。


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