一个式子两个未知数怎么办——将两个未知数分别放在式子的两端

一、题目

曲线 $y=\cos x(x\in [0,\frac{\pi }{2}])$ 与 $x$ 轴, $y$ 轴所围面积被曲线 $y=a\sin x$ 等分，则 $a=?$

示意图：

难度评级：

二、解析

方法一

首先，令 $\cos x$ 与 $a\sin x$ 的交点为 $x_0$, 则：

$$\cos x_0=a\sin x_0\Rightarrow 1=a\tan x_0\Rightarrow \tan x_0=\frac{1}{a}$$

Tips:

上面一个式子中含有两个未知数 $a$ 和 $x_0$, 我们肯定不能求解出这个未知数，只能尽可能化简这个式子，让两个未知数处于式子的两端。

又：

$${\int }_0^{\frac{pi}{2}}\cos x\mathrm{d}x=\sin x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=1.$$

于是，被划分出来的上半部分区域的面积可表示为：

$${\int }_0^{x_0}(\cos x_0-a\sin x_0)\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{x_0}\cos x_0\mathrm{d}x-a{\int }_0^{x_0}\sin x_0\mathrm{d}x=$$

$${\sin x_0|}_0^{x_0}-{a(-\cos x_0)|}_0^{x_0}\Rightarrow$$

$$\sin x_0+a\cos x_0-a=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$\cos x_0(\frac{\sin x_0}{\cos x_0}+a)-a=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$\cos x_0(\frac{1}{a}+a)-a=\frac{1}{2}$$

又：

$$1+{\tan }^2{x}_0=\frac{{\cos }^2{x}_0+{\sin }^2{x}_0}{{\cos }^2{x}_0}=\frac{1}{{\cos }^2{x}_0}$$

$$\cos x_0=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2{x}_0}}\Rightarrow \cos x_0=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}$$

于是：

$$\cos x_0(\frac{1}{a}+a)-a=\frac{1}{2}=$$

$$\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\times \frac{1+a^2}{a}-a=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$\sqrt{a^2+1}-a=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$\sqrt{a^2+1}=\frac{1}{2}+a\Rightarrow$$

$$a^2+1=\frac{1}{4}+a^2+a\Rightarrow$$

$$1=\frac{1}{4}+a\Rightarrow a=\frac{3}{4}.$$

方法二

当然，我们也可以通过划分出来的下半部分区域的面积求解：

$${\int }_0^{x_0}a\sin x\mathrm{d}x+{\int }_{x_0}^{\frac{\pi }{2}}\cos x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$-{a\cos x|}_0^{x_0}+{\sin x|}_{x_0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$-a(\cos x_0-1)+(1-\sin x_0)=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$a-a\cos x_0+1-\sin x_0=\frac{1}{2}\text{. }$$

$$a+1-\cos x_0(a+\tan x_0)=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$a+1-\cos x_0(a+\frac{1}{a})=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$a+1-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}}(a+\frac{1}{a})=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$a+1-\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\cdot \frac{a^2+1}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$a+1-\sqrt{a^2+1}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$a+\frac{1}{2}=\sqrt{a^2+1}\Rightarrow$$

$$a^2+\frac{1}{4}+a=a^2+1\Rightarrow$$

$$\frac{1}{4}+a=1\Rightarrow a=\frac{3}{4}$$

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