一个式子两个未知数怎么办——将两个未知数分别放在式子的两端

一、题目

曲线 $y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴, $y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=?$

示意图：

难度评级：

二、解析

方法一

首先，令 $\cos x$ 与 $a \sin x$ 的交点为 $x_{0}$, 则：

$$
\cos x_{0}=a \sin x_{0} \Rightarrow 1=a \tan x_{0} \Rightarrow\tan x_{0}=\frac{1}{a}
$$

Tips:

上面一个式子中含有两个未知数 $a$ 和 $x_{0}$, 我们肯定不能求解出这个未知数，只能尽可能化简这个式子，让两个未知数处于式子的两端。

又：

$$
\int_{0}^{\frac{pi}{2}} \cos x \mathrm{~ d} x = \sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1.
$$

于是，被划分出来的上半部分区域的面积可表示为：

$$
\int_{0}^{x_{0}}\left(\cos x_{0}-a \sin x_{0}\right) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{x_{0}} \cos x_{0} \mathrm{~ d} x-a \int_{0}^{x_{0}} \sin x_{0} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\left.\sin x_{0}\right|_{0} ^{x_{0}}-\left.a\left(-\cos x_{0}\right)\right|_{0} ^{x_{0}} \Rightarrow
$$

$$
\sin x_{0}+a \cos x_{0}-a=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
\cos x_{0}\left(\frac{\sin x_{0}}{\cos x_{0}}+a\right)-a=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
\cos x_{0}\left(\frac{1}{a}+a\right)-a=\frac{1}{2}
$$

又：

$$
1+\tan ^{2} x_{0}=\frac{\cos ^{2} x_{0}+\sin ^{2} x_{0}}{\cos ^{2} x_{0}}=\frac{1}{\cos ^{2} x_{0}}
$$

$$
\cos x_{0}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} x_{0}}} \Rightarrow \cos x_{0}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}} = \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}
$$

于是：

$$
\cos x_{0}\left(\frac{1}{a}+a\right)-a=\frac{1}{2} =
$$

$$
\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}} \times \frac{1+a^{2}}{a}-a=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
\sqrt{a^{2}+1}-a=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
\sqrt{a^{2}+1}=\frac{1}{2}+a \Rightarrow
$$

$$
a^{2}+1=\frac{1}{4}+a^{2}+a \Rightarrow
$$

$$
1=\frac{1}{4}+a \Rightarrow a=\frac{3}{4}.
$$

方法二

当然，我们也可以通过划分出来的下半部分区域的面积求解：

$$
\int_{0}^{x_{0}} a \sin x \mathrm{~ d} x+\int_{x_{0}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
-\left.a \cos x\right|_{0} ^{x_{0}}+\left.\sin x\right|_{x_{0}} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
-a\left(\cos x_{0}-1\right)+\left(1-\sin x_{0}\right)=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
a-a \cos x_{0}+1-\sin x_{0}=\frac{1}{2} \text {. }
$$

$$
a+1-\cos x_{0}\left(a+\tan x_{0}\right)=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
a+1-\cos x_{0}\left(a+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
a+1-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}}\left(a+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
a+1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}} \cdot \frac{a^{2}+1}{a}=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
a+1-\sqrt{a^{2}+1}=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
a+\frac{1}{2}=\sqrt{a^{2}+1} \Rightarrow
$$

$$
a^{2}+\frac{1}{4}+a=a^{2}+1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{4}+a=1 \Rightarrow a=\frac{3}{4}
$$

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