无穷大和趋于无穷大有什么区别？做完这道题你就理解了！

一、题目

下列命题，哪些是正确的，哪些是错误的？

(1) 设 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内连续是奇函数，则 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x=0$.

(2) 设 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内连续，又 $\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-R}^{R}f(x)\mathrm{d}x$ 存在，则 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛.

(3) ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x,{\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 均发散, 则 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}[f(x)+g(x)]\mathrm{d}x$ 可能发散, 也可能收敛.

(4) 若 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 均发散, 则不能确定 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 是否收敛.

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二、解析

首先，我们要理解，无穷大（$-\mathrm{\infty }$ 或 $+\mathrm{\infty }$）和趋于无穷大（$R\to –\mathrm{\infty }$ 或 $R\to +\mathrm{\infty }$）是不一样的：

因为，所谓“无穷大”只表示“很大很大”，但并不是一个确定的数，比无穷大更大的还有高阶无穷大（正如高阶无穷小与低阶无穷小一样），因此，我们不能说区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 是关于原点对称的，正如我们不能说“从现在的位置向西走无穷远所走的距离和从现在的位置向东走无穷远所走的距离相等”——

如果我们把“向西走无穷远”记为 $-\mathrm{\infty }$, 把“向东走无穷远”记为 $+\mathrm{\infty }$, 则这两个无穷大只是表示方向相反的无穷远，并不意味着长度相等，也就是说，$-\mathrm{\infty }$ 不一定等于 $-(+\mathrm{\infty })$.

但是，如果我们把上面的描述改成“从现在的位置向东走无穷远，走过的距离记作 $R$”, 那么此时有 $R\to +\mathrm{\infty }$（不能写作 $R=+\mathrm{\infty }$, 因为“无穷远处”是不可能抵达的），那么，$-R$ 表示的就是从现在的位置向西走距离为 $R$ 的无穷远——

于是，$(-R,R)$ 这个区间就是关于原点对称的，即：

$$\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{lim}R=\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{lim}-(-R)$$

总的来说，区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 关于原点不一定是对称的，但是，$\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-R,R)$ 关于原点一定是对称的，因此，题目中的命题 (1) 和 (2) 都不正确。

命题 (3) 是正确的，假如 $f(x)$ 和 $g(x)$ 发散的方向（函数图像）刚好关于 $X$ 轴对称，那么 $f(x)+g(x)$ 就是收敛的，当然，收敛是一个比发散更加严格的状态，$f(x)+g(x)$ 在其他更多的情况下，也可能是发散的。

命题 (4) 是错误的，因为，如果一个函数在两个区间上都发散，那么在这两个区间的并区间上一定是发散的，因此，可以判断出其不收敛。

综上，正确的命题是 (3), 错误的命题是 (1), (2), (4).

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