关于可以相似对角化的矩阵没有计算思路怎么办？特征值特征向量先算一算

一、题目

已知矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}3& 1& 2\\ 0& 2& a\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

首先计算 $A$ 的特征值：

$$|\lambda E–A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -3& -1& -2\\ 0& \lambda -2& -a\\ 0& 0& \lambda -3\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)(\lambda -3{)}^2=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=3,{\lambda }_3=3.$$

Tips:

事实上，由于 $A$ 是一个上三角矩阵，因此，$A$ 主对角线上的元素就是其特征值。

接着，计算二重特征值对应的特征向量（这些特征向量一定是线性无关的）：

$$(\lambda E-A)x=0\Rightarrow$$

$$(3E-A)x=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 0& 1& -a\\ 0& 0& 0\end{array}\right|=0.$$

由于 $A$ 有一个二重特征值，因此，$A$ 一定可以消出来两个全为零的行：

$$\left|\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 0& 0& -a-2\\ 0& 0& 0\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$-a-2\Rightarrow a=-2.$$

---