如果深刻理解了关于特征值和特征向量的这个等式，这道题目就可以秒解

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶矩阵，且矩阵 $\mathit{A}$ 各行元素之和均为 $5$, 则矩阵 $\mathit{A}$ 必有特征向量（）

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$\{\begin{array}{ll}& a_{11}+a_{12}+a_{13}=5\\ & a_{21}+a_{22}+a_{23}=5\\ & a_{31}+a_{32}+a_{33}=5\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& 1\times a_{11}+1\times a_{12}+1\times a_{13}=5\\ & 1\times a_{21}+1\times a_{22}+1\times a_{23}=5\\ & 1\times a_{31}+1\times a_{32}+1\times a_{33}=5\end{array}\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=5\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right].$$

由 $A\alpha =\lambda \alpha$ 可知，矩阵 $A$ 一定有特征值 $5$ 对应的特征向量 $k(1,1,1{)}^{\mathrm{\top }}$, 其中 $k\ne 0$

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