如果深刻理解了关于特征值和特征向量的这个等式，这道题目就可以秒解

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，且矩阵 $\boldsymbol{A}$ 各行元素之和均为 $5$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必有特征向量（）

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
\begin{cases}
& a_{11} + a_{12} + a_{13} = 5 \\
& a_{21} + a_{22} + a_{23} = 5 \\
& a_{31} + a_{32} + a_{33} = 5
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& 1 \times a_{11} + 1 \times a_{12} + 1 \times a_{13} = 5 \\
& 1 \times a_{21} + 1 \times a_{22} + 1 \times a_{23} = 5 \\
& 1 \times a_{31} + 1 \times a_{32} + 1 \times a_{33} = 5
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
5 \\
5 \\
5 \\
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{bmatrix}
=5\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{bmatrix}.
$$

由 $A \alpha = \lambda \alpha$ 可知，矩阵 $A$ 一定有特征值 $5$ 对应的特征向量 $k(1, 1, 1)^{\top}$, 其中 $k \neq 0$

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