实对称矩阵（包括对角矩阵）非零特征值的个数就是该矩阵的秩：其他矩阵没有这个规律哦

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,2)^{\mathrm{\top}}$, 则矩阵 $2 \boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 的特征值是多少？

难度评级：

二、解析

一、常规解法：适用范围广

在常规解法中，我们可以直接算出矩阵 $2E-A$, 然后按照特征值的定义计算该矩阵的特征值。

但是为了减少计算量，我们也可以先求解出矩阵 $A$ 的特征值，然后按照特征值的性质计算出 $2E-A$ 的特征值，下面的计算步骤使用的就是这种方法。

$$
|\lambda E-A|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1 & 0 & -2 \\ 0 & \lambda & 0 \\ -2 & 0 & \lambda-4\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)(\lambda-4) \lambda-4 \lambda=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda[(\lambda-1)(\lambda-4)-4]=0 \Rightarrow \lambda=0
$$

$$
(\lambda-1)(\lambda-4)-4=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}-5 \lambda=0 \Rightarrow \lambda=0
$$

$$
\lambda-5=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda=5
$$

即，矩阵 $A$ 的特征值为：

$$
\begin{cases}
& 0 \\
& 0 \\
& 5
\end{cases}
$$

于是，矩阵 $2E – A$ 的特征值为：

$$
\begin{cases}
& -1 \\
& -1 \\
& 9
\end{cases}
$$

二、快速解法

显然，$A = \alpha \alpha^{\top}$ 是一个对角矩阵：

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 4
\end{bmatrix}
$$

而对于实对称矩阵（或对角矩阵），其秩，就是该矩阵非零特征值的个数——

显然，$A$ 的秩为 $1$, 因此，$A$ 只有一个非零特征值，其余两个特征值都是 $0$.

Tips:

对于非对角矩阵或非实对称矩阵，矩阵的秩并不一定就是其非零特征值的个数。例如，矩阵 $\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$ 的秩为 $2$, 但是其三个特征值全为零。

此外，我们还知道：

常数 $\alpha^{\top} \alpha$ 就是矩阵 $\alpha \alpha^{\top}$ 的非零特征值，且：

$$
\alpha^{\top} \alpha = 1 + 4 = 5
$$

因此，矩阵 $A$ 的特征值分别为：

$$
0, 0, 5
$$

那么，矩阵 $2A – E$ 的特征值就是：

$$
\begin{cases}
2 \times 0 – 1 = -1; \\
2 \times 0 – 1 = -1; \\
2 \times 5 – 1 = 9
\end{cases}
$$

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