实对称矩阵（包括对角矩阵）非零特征值的个数就是该矩阵的秩：其他矩阵没有这个规律哦

一、题目

已知 $\mathit{A}=\mathit{\alpha }{\mathit{\alpha }}^{\mathrm{\top }}$, 其中 $\mathit{\alpha }=(1,0,2{)}^{\mathrm{\top }}$, 则矩阵 $2\mathit{A}-\mathit{E}$ 的特征值是多少？

难度评级：

二、解析

一、常规解法：适用范围广

在常规解法中，我们可以直接算出矩阵 $2E-A$, 然后按照特征值的定义计算该矩阵的特征值。

但是为了减少计算量，我们也可以先求解出矩阵 $A$ 的特征值，然后按照特征值的性质计算出 $2E-A$ 的特征值，下面的计算步骤使用的就是这种方法。

$$|\lambda E-A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 0& -2\\ 0& \lambda & 0\\ -2& 0& \lambda -4\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1)(\lambda -4)\lambda -4\lambda =0\Rightarrow$$

$$\lambda [(\lambda -1)(\lambda -4)-4]=0\Rightarrow \lambda =0$$

$$(\lambda -1)(\lambda -4)-4=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2-5\lambda =0\Rightarrow \lambda =0$$

$$\lambda -5=0\Rightarrow$$

$$\lambda =5$$

即，矩阵 $A$ 的特征值为：

$$\{\begin{array}{ll}& 0\\ & 0\\ & 5\end{array}$$

于是，矩阵 $2E–A$ 的特征值为：

$$\{\begin{array}{ll}& -1\\ & -1\\ & 9\end{array}$$

二、快速解法

显然，$A=\alpha {\alpha }^{\mathrm{\top }}$ 是一个对角矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 0& 0\\ 2& 0& 4\end{array}\right]$$

而对于实对称矩阵（或对角矩阵），其秩，就是该矩阵非零特征值的个数——

显然，$A$ 的秩为 $1$, 因此，$A$ 只有一个非零特征值，其余两个特征值都是 $0$.

Tips:

对于非对角矩阵或非实对称矩阵，矩阵的秩并不一定就是其非零特征值的个数。例如，矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ 的秩为 $2$, 但是其三个特征值全为零。

此外，我们还知道：

常数 ${\alpha }^{\mathrm{\top }}\alpha$ 就是矩阵 $\alpha {\alpha }^{\mathrm{\top }}$ 的非零特征值，且：

$${\alpha }^{\mathrm{\top }}\alpha =1+4=5$$

因此，矩阵 $A$ 的特征值分别为：

$$0,0,5$$

那么，矩阵 $2A–E$ 的特征值就是：

$$\{\begin{array}{l}2\times 0–1=-1;\\ 2\times 0–1=-1;\\ 2\times 5–1=9\end{array}$$

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