想求解这个答案需要猜一猜

一、题目

已知常数 $a>1$, $y=x$ 为曲线 $y=a^{x}$ 的切线, 则 $a$ 等于多少，切点是多少？

难度评级：

二、解析

首先，在这里我们是不能直接确定切点是多少的——不能上来就说切点是 $(1, 1)$.

于是，设 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 则：

$$
y=x \Rightarrow x_{0}=y_{0}
$$

又：

$$
y=x \Rightarrow y^{\prime}=1
$$

$$
y=a^{x} \Rightarrow y^{\prime}=a^{x} \ln a
$$

于是：

$$
\left\{\begin{array}{l}x_{0}=a^{x_{0}} \\ 1=a^{x_{0}} \ln a \end{array}\right.
\Rightarrow
$$

$$
1=x_{0} \ln a \Rightarrow
$$

$$
x_{0}=\frac{1}{\ln a}.
$$

又：

$$
e=\frac{1}{\ln e^{\frac{1}{e}} }
$$

Tips:

解答本题的关键就是凑出来上面这个等式。

于是：

$$
a=e^{\frac{1}{e}}
$$

且：

$$
x_{0}=e, \quad y_{0}=e.
$$

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