想求解这个答案需要猜一猜

一、题目

已知常数 $a>1$, $y=x$ 为曲线 $y=a^x$ 的切线, 则 $a$ 等于多少，切点是多少？

难度评级：

二、解析

首先，在这里我们是不能直接确定切点是多少的——不能上来就说切点是 $(1,1)$.

于是，设 $(x_0,y_0)$, 则：

$$y=x\Rightarrow x_0=y_0$$

又：

$$y=x\Rightarrow y^{\prime }=1$$

$$y=a^x\Rightarrow y^{\prime }=a^x\ln a$$

于是：

$$\{\begin{array}{l}{x}_0=a^{x_0}\\ 1=a^{x_0}\ln a\end{array}\Rightarrow$$

$$1=x_0\ln a\Rightarrow$$

$$x_0=\frac{1}{\ln a}.$$

又：

$$e=\frac{1}{\ln e^{\frac{1}{e}}}$$

Tips:

解答本题的关键就是凑出来上面这个等式。

于是：

$$a=e^{\frac{1}{e}}$$

且：

$$x_0=e,y_0=e.$$

---