这道“转置”题，你转晕了嘛？

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量，则以下说法中正确的是哪个？

(i) $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}=\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\top}$

(ii) $\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha}$

(iii) $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}=\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta}$

(iiii) $\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\top}=\boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}$

难度评级：

二、解析

(i)

$$
\left(\alpha \beta^{\top}\right)^{\top}=\beta \alpha^{\top} \Rightarrow \alpha \beta^{\top} \neq \beta \alpha^{\top}
$$

(ii)

可设：

$$
\alpha=\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right) \quad \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)
$$

$$
\alpha^{\top} \beta=(a, b, c)\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)=a+2 b+3 c=A
$$

$$
\beta^{\top} \alpha=(1,2,3)\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right)=a+2 b+3 c=A
$$

于是：

$$
\alpha^{\top} \beta=\beta^{\top} \alpha
$$

(iii)

$$
\alpha \beta^{\top} \Rightarrow 矩阵
$$

$$
\alpha^{\top} \beta \Rightarrow 数字
$$

于是：

$$
\alpha \beta^{\top} \neq \alpha^{\top} \beta
$$

(iiii)

由上面的第 (ii) 个分析可知：

$$
\alpha^{\top} \beta \alpha^{\top}=\left(\alpha^{\top} \beta\right) \alpha^{\top}=A \alpha^{\top}
$$

$$
\beta^{\top} \alpha \beta^{\top}=\left(\beta^{\top} \alpha\right) \beta^{\top}=A \beta^{\top}
$$

于是：

$$
\alpha^{\top} \beta \alpha^{\top} \neq \beta^{\top} \alpha \beta^{\top}
$$

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