这道“转置”题，你转晕了嘛？

一、题目

已知 $α, β$ 是 $n$ 维列向量，则以下说法中正确的是哪个？

(i) $α β^{⊤} = β α^{⊤}$

(ii) $α^{⊤} β = β^{⊤} α$

(iii) $α β^{⊤} = α^{⊤} β$

(iiii) $α^{⊤} β α^{⊤} = β^{⊤} α β^{⊤}$

难度评级：

${(α β^{⊤})}^{⊤} = β α^{⊤} \Rightarrow α β^{⊤} \neq β α^{⊤}$

可设：

$α = (\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}) β = (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})$

$α^{⊤} β = (a, b, c) (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) = a + 2 b + 3 c = A$

$β^{⊤} α = (1, 2, 3) (\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}) = a + 2 b + 3 c = A$

于是：

$α^{⊤} β = β^{⊤} α$

$α β^{⊤} \Rightarrow 矩阵$

$α^{⊤} β \Rightarrow 数字$

于是：

$α β^{⊤} \neq α^{⊤} β$

由上面的第 (ii) 个分析可知：

$α^{⊤} β α^{⊤} = (α^{⊤} β) α^{⊤} = A α^{⊤}$

$β^{⊤} α β^{⊤} = (β^{⊤} α) β^{⊤} = A β^{⊤}$

于是：

$α^{⊤} β α^{⊤} \neq β^{⊤} α β^{⊤}$

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