向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关：四个三维列向量一定线性相关

一、题目

下面的向量组中，线性相关的和线性无关的向量组分别是哪些？

(i) $(1,2,3{)}^{\mathrm{\top }}$, $(3,-1,5{)}^{\mathrm{\top }}$, $(0,4,-2{)}^{\mathrm{\top }}$, $(1,3,0{)}^{\mathrm{\top }}$

(ii) $(a,1,b,0,0{)}^{\mathrm{\top }}$, $(c,0,d,2,0{)}^{\mathrm{\top }}$, $(e,0,f,0,3{)}^{\mathrm{\top }}$

(iii) $(a,1,2,3{)}^{\mathrm{\top }}$, $(b,1,2,3{)}^{\mathrm{\top }}$, $(c,3,4,5{)}^{\mathrm{\top }}$, $(d,0,0,0{)}^{\mathrm{\top }}$

(iiii) $(1,0,3,1{)}^{\mathrm{\top }}$, $(-1,3,0,-2{)}^{\mathrm{\top }}$, $(2,1,7,2{)}^{\mathrm{\top }}$, $(4,2,14,5{)}^{\mathrm{\top }}$

难度评级：

二、解析

第 (i) 个向量组：线性相关

向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关，因此该向量组一定线性相关——直接进行初等变换也可以发现能消出来全零的列。

第 (ii) 个向量组：线性无关

该向量组中存在 $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$ 这个线性无关的向量组，那么，再往该向量组种添加几个元素会进一步扰乱它的无关性，因此，第 (ii) 个向量组是线性无关的。

第 (iii) 个向量组：线性相关

$(a,1,2,3{)}^{\mathrm{\top }}$ $-$ $(b,1,2,3{)}^{\mathrm{\top }}$ $=$ $(a-b,0,0,0)$ 与 $(d,0,0,0)$ 成比例可以消去，因此，该向量组线性相关。

第 (iiii) 个向量组：线性相关

由题可得：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 4\\ 0& 3& 1& 2\\ 3& 0& 7& 14\\ 1& -2& 2& 5\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 3& 0& 1& 0\\ 1& -1& 0& 1\end{array}\right]$$

因此，该向量组线性相关。

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