一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关, $\boldsymbol{B}$ 是四阶矩阵, 满足 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}$. 则 $r\left(\boldsymbol{B}^{*}\right)=?$
难度评级：
二、解析 
方法一
$$
r(A)=4 \Rightarrow
$$
$$
\left{\begin{array}{l}2 A B=A \Rightarrow A 2 B=A \\ 2 A E=2 A \Rightarrow A 2 E=2 A\end{array} \Rightarrow\right.
$$
$$
4 B=2 E \Rightarrow B=\frac{1}{2} E \Rightarrow r(B)=4 \Rightarrow r\left(B^{*}\right)=4.
$$
方法二
$$
r(A)=4 \Rightarrow
$$
$$
2 A B=A \Rightarrow 2 A B-A=O \Rightarrow
$$
$$
A(2 B-E)=O \Rightarrow
$$
$$
r(A)+r(2 B-E) \leqslant 4 \Rightarrow
$$
$$
r(A)=4 \Rightarrow r(2 B-E)=0 \Rightarrow
$$
$$
2 B-E=O \Rightarrow 2 B=E \Rightarrow
$$
$$
B=\frac{1}{2} E \Rightarrow r(B)=4 \Rightarrow r\left(B^{*}\right)=4.
$$
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