当原矩阵满秩的时候，伴随矩阵也满秩

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是 $5\times 4$ 矩阵, 且 $\mathit{A}$ 的列向量线性无关, $\mathit{B}$ 是四阶矩阵, 满足 $2\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{A}$. 则 $r\left({\mathit{B}}^{\ast }\right)=?$

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二、解析

方法一

$$r(A)=4\Rightarrow$$

$$
\left{$$\begin{array}{l}2AB=A\Rightarrow A2B=A\\ 2AE=2A\Rightarrow A2E=2A\end{array}$$ \Rightarrow\right.
$$

$$4B=2E\Rightarrow B=\frac{1}{2}E\Rightarrow r(B)=4\Rightarrow r\left(B^{\ast }\right)=4.$$

方法二

$$r(A)=4\Rightarrow$$

$$2AB=A\Rightarrow 2AB-A=O\Rightarrow$$

$$A(2B-E)=O\Rightarrow$$

$$r(A)+r(2B-E)⩽4\Rightarrow$$

$$r(A)=4\Rightarrow r(2B-E)=0\Rightarrow$$

$$2B-E=O\Rightarrow 2B=E\Rightarrow$$

$$B=\frac{1}{2}E\Rightarrow r(B)=4\Rightarrow r\left(B^{\ast }\right)=4.$$

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