这道题看似有多种解法，其实只能用行阶梯来做

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\ 0 & 1 & -1 & a \\\ 2 & 3 & a & 4 \\\ 3 & 5 & 1 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$, 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

由 $r\left(A^{*}\right)=1$ 可知，$A^{*}$ 中必然含有至少一个非零元素，对应的可知，$A$ 中一定存在至少一个不为零的三阶矩阵，由此我们可以想到两种解法：

1. 利用 $|A| = 0$ 求解；
2. 利用 $A$ 中某个三阶子式不为零求解。

但是，上面的第一种方法不能保证 $r(A) = 3$, 上面的第二种方法则非常繁琐——因为 $A$ 存在 $4 \times 4 = 16$ 个三阶子式，而每个子式都可能等于零或者不等于零，于是需要考虑 $16 \times 2 = 32$ 种情况！

因此，我们必须用一种更直接的办法，保证在一定条件下可以判断出 $A$ 的秩是不是等于 $3$——这个办法就是：把 $A$ 化简为行阶梯矩阵。

于是：

$$
A = \left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & a \\ 2 & 3 & a & 4 \\ 3 & 5 & 1 & 9\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & a \\ 0 & 1 & a-2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 6\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & a \\ 0 & 0 & a-1 & 2-a \\ 0 & 0 & 0 & 6-2 a\end{array}\right].
$$

因此：

Ⅰ、当 $a=0$ 时，有：

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 6\end{array}\right] \Rightarrow r(A)=4.
$$

Ⅱ、当 $a-1=0$ 时，有：

$$
a=1 \Rightarrow A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right] \Rightarrow r(A)=3.
$$

Ⅲ、当 $2-a=0$ 时，有：

$$
a=2 \Rightarrow A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right] \Rightarrow r(A)=4.
$$

Ⅳ、当 $6-2 a=0$ 时，有：

$$
a=3 \Rightarrow A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \Rightarrow r(A)=3.
$$

综上可知，当 $r(A^{*}) = 1$ 时，有

$$
a=1.
$$

或者：

$$
a=3.
$$

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