两个矩阵相乘等于零矩阵的时候，这两个矩阵的秩有什么关系？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是四阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 那么：

若 $r(\boldsymbol{A})=1$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;

若 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;

若 $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;

若 $r(\boldsymbol{A})=4$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$.

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二、解析

粗略地说，对于化简到最简的矩阵（初等变换不改变矩阵的秩），若 $AB=O$, 则说明 $A$ 的非零行（或全零行）与 $B$ 的全零列相乘刚好全部消掉，或者 $A$ 的全零行和 $B$ 的非零列（或全零列）相乘刚好全部消掉。

于是：

一、若 $r(A) = 1$, 则四阶矩阵 $B$ 只需要至少有一个全零列即可将 $A$ 的一个非零行消去，此时，$r(B)$ 可能等于 $1$, $2$ 或 $3$.

二、接着，若 $r(A) = 2$, 则 $r(B)$ 只需要保证有两个全零行，就有可能使 $AB = O$, 也就是说 $r(B)$ 可能等于 $1$ 或者 $2$.

三、但是，若 $r(A) = 3$, 则四阶矩阵 $B$ 必须有三个全零行，才能保证存在 $AB = O$ 的可能性，因此，此时 $r(B)$ 只能等于 $1$.

四、最后，若 $r(A) = 4$, 说明四阶矩阵 $A$ 没有全零行，那么，若要有 $AB = O$, 则必有 $r(B) = 0$.

综上可知：

若 $r(\boldsymbol{A})=1$, 则 $r(\boldsymbol{B})=1, 2, 3$;

若 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $r(\boldsymbol{B})=1, 2$;

若 $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $r(\boldsymbol{B})=1$;

若 $r(\boldsymbol{A})=4$, 则 $r(\boldsymbol{B})=0$.

拓展资料

1. 矩阵的秩与相关推论
2. 行满秩列满秩与满秩在矩阵乘法中的几条性质

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