三阶矩阵秩为 2：那就有多种方式可以解题了

一、题目

已知矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& a& -1\\ 2& -1& a\\ 1& 10& -6\end{array}\right]$ 的秩为 $2$ , 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

方法 1

由题可知：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& a& -1\\ 2& -1& a\\ 1& 10& -6\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& a& -1\\ 0& -1-2a& a+2\\ 0& 10-a& -5\end{array}\right].$$

又：

$$r(A)=2\Rightarrow$$

Tips：

下面的式子用了一个定理：如果矩阵的两行或者两列成比例，那么就可以消掉其中一行。

$$\frac{-1-2a}{10-a}=\frac{a+2}{-5}\Rightarrow$$

$$\frac{1+2a}{10-a}=\frac{a+2}{5}\Rightarrow$$

$$5+10a=(a+2)(10-a)\Rightarrow$$

$$a^2+2a-15=0\Rightarrow$$

$$a=\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{2}\Rightarrow$$

$$a=3,a=-5$$

经验证，当 $a=3$ 时，矩阵 $A$ 的秩为 $2$（这里进行验证主要是防止出现矩阵的秩是 $1$ 或者 $0$ 的情况）：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& a& -1\\ 2& -1& a\\ 1& 10& -6\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 0& -7& 5\\ 0& 7& -5\end{array}\right]$$

同时，当 $a=-5$ 时，矩阵 $A$ 的秩也为 $2$:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& a& -1\\ 2& -1& a\\ 1& 10& -6\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1& -5& -1\\ 0& 9& -3\\ 0& 15& -5\end{array}\right]$$

综上可知，若 $r(A)=2$, 则 $a=3$ 或者 $a=-5$.

方法 2

求解出 $a$ 的取值的关键就是得到 $a^2+2a-15=0$ 这个式子，为此，我们还可以使用如下方法：

$$r(A)=2\Rightarrow$$

$$2<3\Rightarrow$$

$$|A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& a& -1\\ 2& -1& a\\ 1& 10& -6\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$6+a^2–20–1+12a–10a=0\Rightarrow$$

$$a^a+2a–15=0.$$

之后的步骤参照本文的方法 1 中所给的步骤求解即可。

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