求抽象矩阵逆矩阵的方法之一：往已知条件上凑

一、题目

已知 ${\mathit{A}}^3=\mathit{O}$, 则 ${(\mathit{E}+\mathit{A}+{\mathit{A}}^2)}^{-1}=?$

难度评级：

二、解析

题目已知的结论是关于 $A^3$ 的，因此，我们需要尝试构造出 $A^3$.

首先，根据定义可知：

$$◻(E+A+A^2)=E\Rightarrow$$

$$◻={(E+A+A^2)}^{-1}$$

又：

$$A(E+A+A^2)=AE+A^2+A^3=$$

$$A+A^2+A^3.$$

且：

$$(E-A)(E+A+A^2)=$$

$$E^2+EA+E{A}^2-AE-A^2-A^3=$$

$$E+A+A^2-A-A^2-A^3=$$

$$E-A^3=E$$

即：

$$(E-A)(E+A+A^2)=E$$

因此：

$$\mathit{E}–\mathit{A}={(\mathit{E}+\mathit{A}+{\mathit{A}}^2)}^{-1}.$$

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