带有次幂的抽象矩阵怎么算？展开试试看哦！

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,3,-2)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\beta}=(2,0,0)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$, 则 $\boldsymbol{A}^{3} = ?$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$
A^{3}=\left(\alpha \beta^{\top}\right)^{3}=\left(\alpha \beta^{\top}\right)\left(\alpha \beta^{\top}\right)\left(\alpha \beta^{\top}\right)=
$$

$$
\alpha\left(\beta^{\top} \alpha\right)\left(\beta^{\top} \alpha\right) \beta^{\top}.
$$

且：

$$
\alpha \beta^{\top} = \left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ -2\end{array}\right)(2,0,0)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0\end{array}\right).
$$

$$
\beta^{\top} \alpha=(2,0,0)\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ -2\end{array}\right)=2.
$$

于是：

$$
A^{3}=\alpha\left(\beta^{\top} \alpha\right)\left(\beta^{\top} \alpha\right) \beta^{\top}=
$$

$$
\alpha \cdot 4 \cdot \beta^{\top}=4 \alpha \beta^{\top}=4 A.
$$

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