行列式和矩阵的计算规则有什么区别？做了这道题就明白了！

一、题目

已知，四阶方阵 $\mathit{A}$ $=$ $[\mathit{\alpha },{\mathit{\gamma }}_2,{\mathit{\gamma }}_3,{\mathit{\gamma }}_4]$, $\mathit{B}$ $=$ $[\mathit{\beta },{\mathit{\gamma }}_2,{\mathit{\gamma }}_3,{\mathit{\gamma }}_4]$, 其中 $\mathit{\alpha }$, $\mathit{\beta }$, ${\mathit{\gamma }}_2$, ${\mathit{\gamma }}_3$, ${\mathit{\gamma }}_4$ 均为四维列向量，且 $|\mathit{A}|=5$, $|\mathit{B}|=-\frac{1}{2}$, 则 $|\mathit{A}+2\mathit{B}|=?$

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二、解析

$$2B=[2\beta ,2{\gamma }_2,2{\gamma }_3,2{\gamma }_4]\Rightarrow$$

$$A+2B=[\alpha +2\beta ,3{\gamma }_2,3{\gamma }_3,3{\gamma }_4]\Rightarrow$$

$$|A+2B|=3^3|\alpha +2\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4|=$$

$$3^3|\alpha ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4|+3^3|2\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4|=$$

$$27|A|+3^3\times 2|\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4|=$$

$$27\times 5+27\times 2\times |B|=$$

$$27\times 5+27\times 2\times (-\frac{1}{2})=$$

$$27\times 4=108.$$

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