指定区间上的一个关键结论：sin x 小于 x，cos x 大于 x

一、题目

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\sin x) \mathrm{d} x$, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos (\cos x) \mathrm{d} x$ 和 $1$ 的大小关系如何？

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
\begin{cases}
& \sin x<x, \quad x \in (0, \frac{\pi}{2}); \\
& \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~ d} x=-\left.\cos x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=-(0-1)=1
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\sin x) \mathrm{~ d} x<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\sin x) \mathrm{~ d} x<1
$$

又：

$$
\begin{cases}
& \cos x>x, \quad x \in (0, \frac{\pi}{2}); \\
& \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \mathrm{~ d} x=\left.\sin x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=1-0=1
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos (\cos x) \mathrm{~ d} x>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos (\cos x) \mathrm{~ d} x>1
$$

综上可知：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\sin x) \mathrm{~ d} x<1<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos (\cos x) \mathrm{~ d} x.
$$

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