在不进行积分运算的情况下,通过偏微分方程求解原函数

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 z = x2+y2f(yx), 且 f(u) 可导, 若有:

xzx+yzy=2y2x2+y2

则:

f(1)=?

f(1)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由题知:

z=(x2+y2)12f(yx)

于是:

zx=122x(x2+y2)12f(yx)+

(x2+y2)12fx(yx)1x2y

xzx=x2f(yx)x2+y2+xyx2+y2fx(yx)x2.

接着:

zy=1z2y(x2+y2)12f(yxx)+

(x2+y2)12fy(yx)1x

yzy=y2f(yx)x2+y2+yx2+y2fy(yx)x.

于是:

xzx+yzy=(x2+y2)f(yx)x2+y2

又:

yx=1y=x

xzx+yzy=2y2f(yx)x2+y2.

又由题知:

xzx+yzy=2y2x2+y2.

于是,联立 两式可知:

f(1)=1

但是,由于 f(yx) 在前面的运算过程中被消去了,因此,通过上面的步骤,我们并不能确定 f(yx) 的取值,因此,我们只能继续运算,找出 f(u) 的确切表达式:

xzx+yzy=x2+y2f(yx)

xzx+yzy=2y2x2+y2

x2+y2f(yx)=2y2x2+y2

(x2+y2)f(yx)=2y22y2x2+y2

f(yx)=2y2x21+y2x2

f(u)=2u21+u2

f(1)=1

f(u)=4u(1+u2)2u22u(1+u2)2

f(1)=4×244=1.


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