在不进行积分运算的情况下,通过偏微分方程求解原函数 一、题目 已知函数 z = x2+y2f(yx), 且 f(u) 可导, 若有: x∂z∂x+y∂z∂y=2y2x2+y2 则: f(1)=? f′(1)=? 难度评级: 二、解析 由题知: z=(x2+y2)12f(yx) 于是: ∂z∂x=12⋅2x(x2+y2)−12f(yx)+ (x2+y2)12fx′(yx)⋅−1x2⋅y⇒ x⋅∂z∂x=x2f(yx)x2+y2+−xyx2+y2⋅fx′(yx)x2. 接着: ∂z∂y=1z⋅2y(x2+y2)−12f(yxx)+ (x2+y2)12fy′(yx)⋅1x⇒ y⋅∂z∂y=y2f(yx)x2+y2+yx2+y2f′y(yx)x. 于是: x⋅∂z∂x+y⋅∂z∂y=(x2+y2)f(yx)x2+y2 又: yx=1⇒y=x⇒ ①x⋅∂z∂x+y⋅∂z∂y=2y2f(yx)x2+y2.① 又由题知: ②x⋅∂z∂x+y⋅∂z∂y=2y2x2+y2.② 于是,联立 ①① 和 ②② 两式可知: f(1)=1 但是,由于 f′(yx) 在前面的运算过程中被消去了,因此,通过上面的步骤,我们并不能确定 f′(yx) 的取值,因此,我们只能继续运算,找出 f(u) 的确切表达式: x⋅∂z∂x+y∂z∂y=x2+y2f(yx)⇒ x⋅∂z∂x+y∂z∂y=2y2x2+y2⇒ x2+y2f(yx)=2y2x2+y2⇒ (x2+y2)f(yx)=2y22y2x2+y2⇒ f(yx)=2y2x21+y2x2⇒ f(u)=2u21+u2⇒ f(1)=1 f′(u)=4u(1+u2)−2u2⋅2u(1+u2)2⇒ f′(1)=4×2–44=1. 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 2016年考研数二第17题解析:利用偏导数求函数极值 二元三重复合函数求导法则(B012) 旋度的定义(B022) 一个复合函数求二阶偏导的例题:u(x,y) = u(x2+y2) 二元二重复合函数求导法则(B012) 斯托克斯公式(B021) 2015年考研数二第05题解析 [高数]记录一个较复杂的复合函数求偏导过程 2014年考研数二第18题解析:偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程 求二阶偏导的小技巧:复用一阶偏导的部分结果 2013年考研数二第05题解析 高斯公式/高斯定理(B021) 三元复合函数求导法则(B012) 注意!这里有一个很容易被误认为是函数的式子 散度的定义(B022) 2012年考研数二第11题解析 计算微分方程 y′′ + 2my′ + n2y = 0 满足一定条件特解的无穷限反常积分 一元二重复合函数求导法则(B012) 二元函数的全微分(B012) 二元函数的全增量(B012) 2018年考研数二第19题解析:条件极值、拉格朗日乘数法 求解 z = yx2+y2 的全微分 计算微分方程 y′′ + y′ − 2y = (6x+2)ex 满足指定条件的特解 求偏导时,函数的第一部分变量用 1 表示,第二部分变量用 2 表示 先偏导再积分也能确定原函数