在不进行积分运算的情况下，通过偏微分方程求解原函数

一、题目

已知函数 $z$ $=$ $\sqrt{x^{2}+y^{2}} f\left(\frac{y}{x}\right)$, 且 $f(u)$ 可导, 若有：

$$
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2 y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
$$

则：

$$
f(1) = ?
$$

$$
f^{\prime}(1) = ?
$$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$
z=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} f\left(\frac{y}{x}\right)
$$

于是：

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2} \cdot 2 x\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{-1}{2}} f\left(\frac{y}{x}\right)+
$$

$$
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} f_{x}^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \frac{-1}{x^{2}} \cdot y \Rightarrow
$$

$$
x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x^{2} f\left(\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{-x y \sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot f_{x}^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)}{x^{2}}.
$$

接着：

$$
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{z} \cdot 2 y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{-1}{2}} f\left(\frac{y^{x}}{x}\right)+
$$

$$
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} f_{y}^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} \Rightarrow
$$

$$
y \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y^{2} f\left(\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y \sqrt{x^{2}+y^{2}} f^{\prime} y\left(\frac{y}{x}\right)}{x}.
$$

于是：

$$
x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
$$

又：

$$
\frac{y}{x}=1 \Rightarrow y=x \Rightarrow
$$

$$
x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2 y^{2} f\left(\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}. \quad ①
$$

又由题知：

$$
x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2 y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}. \quad ②
$$

于是，联立 $①$ 和 $②$ 两式可知：

$$
f(1)=1
$$

但是，由于 $f^{\prime}(\frac{y}{x})$ 在前面的运算过程中被消去了，因此，通过上面的步骤，我们并不能确定 $f^{\prime}(\frac{y}{x})$ 的取值，因此，我们只能继续运算，找出 $f(u)$ 的确切表达式：

$$
x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} f\left(\frac{y}{x}\right) \Rightarrow
$$

$$
x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2 y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
\sqrt{x^{2}+y^{2}} f\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{2 y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\frac{y}{x}\right)=2 y^{2} \frac{2 y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{2 \frac{y^{2}}{x^{2}}}{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
f\left(u\right)=\frac{2 u^{2}}{1+u^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f(1)=1
$$

$$
f^{\prime}(u)=\frac{4 u\left(1+u^{2}\right)-2 u^{2} \cdot 2 u}{\left(1+u^{2}\right)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(1) = \frac{4 \times 2 – 4}{4} = 1.
$$

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