由全微分反向积分求解原函数

一、题目

已知，函数 $f(x, y)$ 的全微分是：

$$
\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y
$$

则：

$$
f(x, y) = ?
$$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$
\frac{\partial f}{\partial x}=a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial y}=2 x^{3} y+b x^{2} y+1
$$

于是：

$$
f=\int \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d} x=\int\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
f=a y^{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}-2 y^{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2}+\varphi(y)+C_{1} \quad ①
$$

同样的：

$$
f=\int \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d} y=\int\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y \Rightarrow
$$

$$
f=2 x^{3} \cdot \frac{1}{2} y^{2}+b x^{2} \cdot \frac{1}{2} y^{2}+y+\varphi(x)+C^{2} \quad ②
$$

联立 $①$ 式和 $②$ 式：

$$
\left\{\begin{array} { l }
{ \frac { 1 } { 3 } a = 1 } \\
{ \frac { 1 } { 2 } b = – 1 } \\
{ \varphi ( y ) = y } \\
{ \varphi ( x ) = 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
a=3 \\
b=-2 \\
\varphi(y)=y \\
\varphi(x)=0
\end{array}\right.\right.
$$

综上可得：

$$
f(x, y)=x^{3} y^{2}-x^{2} y^{2}+y+C.
$$

其中，$C$ 为任意常数。

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