由全微分反向积分求解原函数

一、题目

已知，函数 $f(x,y)$ 的全微分是：

$$(a{x}^2{y}^2-2x{y}^2)\mathrm{d}x+(2x^{3}y+b{x}^{2}y+1)\mathrm{d}y$$

则：

$$f(x,y)=?$$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=a{x}^2{y}^2-2x{y}^2$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y+b{x}^{2}y+1$$

于是：

$$f=\int \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x=\int (a{x}^2{y}^2-2x{y}^2)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$f=a{y}^2\cdot \frac{1}{3}{x}^3-2y^2\cdot \frac{1}{2}{x}^2+\phi (y)+C_1\mathrm{①}$$

同样的：

$$f=\int \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y=\int (2x^{3}y+b{x}^{2}y+1)\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$$f=2x^3\cdot \frac{1}{2}{y}^2+b{x}^2\cdot \frac{1}{2}{y}^2+y+\phi (x)+C^2\mathrm{②}$$

联立 $\mathrm{①}$ 式和 $\mathrm{②}$ 式：

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}a=1\\ \frac{1}{2}b=–1\\ \phi (y)=y\\ \phi (x)=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=3\\ b=-2\\ \phi (y)=y\\ \phi (x)=0\end{array}$$

综上可得：

$$f(x,y)=x^3{y}^2-x^2{y}^2+y+C.$$

其中，$C$ 为任意常数。

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