对于解题过程中的未知数要想一想有没有办法求出来：以“可导必连续”为例

一、题目

已知：

$$
f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \sin x+1, & x>0, \\ \frac{1}{1+x^2}, & x \leqslant 0,\end{array}\right.
$$

则 $f(x)$ 的所有原函数是多少？

难度评级：

二、解析

当 $x > 0$ 时：

$$
\int ( \sin x + 1) \mathrm{d} x =
$$

$$
– \cos x + x + C_{1}.
$$

其中 $C_{1}$ 为任意常数。

Next

当 $x \leqslant 0$ 时：

$$
\int \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d} x =
$$

$$
\arctan x + C_{2}.
$$

其中 $C_{2}$ 为任意常数。

Next

但是，不能认为写到这里就得出最终答案了，我们还要想办法把前面的出的 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 两个任意常数合为一个——

这里需要用到的性质就是：“可导一定连续，连续不一定可导”。

Next

于是，由于原函数在 $x = 0$ 处需要连续，我们就有：

$$
\lim_{x \rightarrowtail 0^{-}} (\arctan x + C_{2}) = \lim_{x \rightarrowtail 0^{+}} (- \cos x + x + C_{1}) \Rightarrow
$$

$$
C_{2} = -1 + C_{1} \Rightarrow
$$

$$
C_{1} = C_{2} + 1
$$

Next

若令 $C_{2} = C$, 则：

$$
\int f(x) \mathrm{d} x = \left\{\begin{array}{ll} – \cos x + x + C + 1, & x>0, \\ \arctan x + C, & x \leqslant 0,\end{array}\right.
$$

其中 $C$ 为任意常数。

---