对于解题过程中的未知数要想一想有没有办法求出来：以“可导必连续”为例

一、题目

已知：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x+1,& x>0,\\ \frac{1}{1+x^2},& x⩽0,\end{array}$$

则 $f(x)$ 的所有原函数是多少？

难度评级：

二、解析

当 $x>0$ 时：

$$\int (\sin x+1)\mathrm{d}x=$$

$$–\cos x+x+C_1.$$

其中 $C_1$ 为任意常数。

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当 $x⩽0$ 时：

$$\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=$$

$$\arctan x+C_2.$$

其中 $C_2$ 为任意常数。

Next

但是，不能认为写到这里就得出最终答案了，我们还要想办法把前面的出的 $C_1$ 和 $C_2$ 两个任意常数合为一个——

这里需要用到的性质就是：“可导一定连续，连续不一定可导”。

Next

于是，由于原函数在 $x=0$ 处需要连续，我们就有：

$$\underset{x\rightarrowtail 0^{-}}{lim}(\arctan x+C_2)=\underset{x\rightarrowtail 0^{+}}{lim}(-\cos x+x+C_1)\Rightarrow$$

$$C_2=-1+C_1\Rightarrow$$

$$C_1=C_2+1$$

Next

若令 $C_2=C$, 则：

$$\int f(x)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}–\cos x+x+C+1,& x>0,\\ \arctan x+C,& x⩽0,\end{array}$$

其中 $C$ 为任意常数。

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