给根号换个形式:不去根号胜去根号

一、题目题目 - 荒原之梦

x+1+2(x+1)2dx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法 1:将根号写成次幂的形式

x+1+2(x+1)2dx=

(x+1)12(x+1)2dx+2(x+1)2dx=

(x+1)32dx2d(1x+1)=

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d=.

2(x+1)122x+1+C=

2x+12x+1+C.

其中,C 为任意常数。

解法 2:整体代换

遇到带有根号的被积函数,如果不知道怎么去根号,就可以使用将根式部分整体代换这个“万能方法”,使用了类似解题思路的还有《两种方法去根号:分子有理化或整体代换》这道题。

x+1+2(x+1)2dx

t=x+1, 则:

t2=x+1

x=t21

dx=2tdt.

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于是:

x+1+2(x+1)2dx=

2t(t+2)t4dt=

2t2+2tt4dt=

2t2t4dt+22tt4dt=

21t2dt+41t3dt=

2t2dt+4t3dt=

2(12+1)t2+1+4(13+1)t3+1+C=

2t12t2+C=

2t2t2+C

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t=x+1

2x+12x+1+C.

其中,C 为任意常数。


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