给根号换个形式：不去根号胜去根号

一、题目

$$\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

解法 1：将根号写成次幂的形式

$$\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{(x+1{)}^{\frac{1}{2}}}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x+\int \frac{2}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x=$$

$$\int (x+1{)}^{\frac{-3}{2}}\mathrm{d}x–2\int \mathrm{d}(\frac{1}{x+1})=$$

Next

$\int \mathrm{d}\mathrm{△}=\mathrm{△}$.

$$-2(x+1{)}^{\frac{-1}{2}}–\frac{2}{x+1}+C=$$

$$\frac{-2}{\sqrt{x+1}}–\frac{2}{x+1}+C.$$

其中，$C$ 为任意常数。

解法 2：整体代换

遇到带有根号的被积函数，如果不知道怎么去根号，就可以使用将根式部分整体代换这个“万能方法”，使用了类似解题思路的还有《两种方法去根号：分子有理化或整体代换》这道题。

$$\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

令 $t=\sqrt{x+1}$, 则：

$$t^2=x+1\Rightarrow$$

$$x=t^2–1\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t.$$

Next

于是：

$$\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x=$$

$$2\int \frac{t(t+2)}{t^4}\mathrm{d}t=$$

$$2\int \frac{t^2+2t}{t^4}\mathrm{d}t=$$

$$2\int \frac{t^2}{t^4}\mathrm{d}t+2\int \frac{2t}{t^4}\mathrm{d}t=$$

$$2\int \frac{1}{t^2}\mathrm{d}t+4\int \frac{1}{t^3}\mathrm{d}t=$$

$$2\int t^{-2}\mathrm{d}t+4\int t^{-3}\mathrm{d}t=$$

$$2(\frac{1}{-2+1})t^{-2+1}+4(\frac{1}{-3+1})t^{-3+1}+C=$$

$$-2t^{-1}–2t^{-2}+C=$$

$$\frac{-2}{t}–\frac{2}{t^2}+C\Rightarrow$$

Next

令 $t=\sqrt{x+1}$ $\Rightarrow$

$$\frac{-2}{\sqrt{x+1}}–\frac{2}{x+1}+C.$$

其中，$C$ 为任意常数。

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