加加减减,凑凑拆拆: sinxsinx+cosx dx

一、题目题目 - 荒原之梦

sinxsinx+cosxdx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

观察可知,如果可以将题目中的分子凑成 d(sinx+cosx) 的形式,那么,就可以将分子置为 1, 从而可以利用形如下面的公式求解:

1d=ln+C.

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又:

(sinx+cosx)=cosxsinx

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因此,为了使题目所给式子的分子含有 cosx sinx, 我们可以进行如下“凑”的操作:

sinxsinx+cosx

(1)sinxsinx+cosx

(1)(sinx+cosx)cosxsinx+cosx

(1)(sinx+cosx)cosxsinx+cosxdx.

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但在上式中,计算 cosxsinx+cosx 的积分同样很困难,所以,我们可以继续“凑”,也就是再分子上在添加一个 sinx:

(1)(sinx+cosx)cosxsinxsinx+cosxdx.

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但这样一来,分子上就相当于是 2sinx 而不是原来的 sinx 了——于是,我们需要乘上一个 12:

(12)(sinx+cosx)cosxsinxsinx+cosxdx.

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从而,有:

sinxsinx+cosxdx=

(12)(sinx+cosx)cosxsinxsinx+cosxdx=

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(12)d(sinx+cosx)(cosx+sinx)sinx+cosxdx=

(12)[d(sinx+cosx)sinx+cosxdxcosx+sinxsinx+cosxdx]=

(12)[1sinx+cosxd(sinx+cosx)1dx]=

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12[1dx1sinx+cosxd(sinx+cosx)]=

12x12ln|sinx+cosx|+C.

其中,C 为任意常数。


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