加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$ $\mathrm{d}x$

一、题目

$$\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

观察可知，如果可以将题目中的分子凑成 $\mathrm{d}(\sin x+\cos x)$ 的形式，那么，就可以将分子置为 $1$, 从而可以利用形如下面的公式求解：

$$\int \frac{1}{\mathrm{△}}\mathrm{d}\mathrm{△}=\ln \mathrm{△}+C.$$

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又：

$$(\sin x+\cos x{)}^{\prime }=\cos x–\sin x$$

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因此，为了使题目所给式子的分子含有 $\cos x$ $-$ $\sin x$, 我们可以进行如下“凑”的操作：

$$\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\Rightarrow$$

$$(-1)\cdot \int \frac{-\sin x}{\sin x+\cos x}\Rightarrow$$

$$(-1)\cdot \int \frac{(-\sin x+\cos x)–\cos x}{\sin x+\cos x}\Rightarrow$$

$$(-1)\cdot \int \frac{(-\sin x+\cos x)–\cos x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x.$$

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但在上式中，计算 $\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}$ 的积分同样很困难，所以，我们可以继续“凑”，也就是再分子上在添加一个 $-\sin x$:

$$(-1)\cdot \int \frac{(-\sin x+\cos x)–\cos x–\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x.$$

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但这样一来，分子上就相当于是 $2\sin x$ 而不是原来的 $\sin x$ 了——于是，我们需要乘上一个 $\frac{1}{2}$:

$$(-\frac{1}{2})\cdot \int \frac{(-\sin x+\cos x)–\cos x–\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x.$$

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从而，有：

$$\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=$$

$$(-\frac{1}{2})\cdot \int \frac{(-\sin x+\cos x)–\cos x–\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=$$

Next

$$(-\frac{1}{2})\cdot \int \frac{\mathrm{d}(\sin x+\cos x)–(\cos x+\sin x)}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=$$

$$(-\frac{1}{2})\cdot [\int \frac{\mathrm{d}(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x–\int \frac{\cos x+\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x]=$$

$$(-\frac{1}{2})\cdot [\int \frac{1}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}(\sin x+\cos x)–\int 1\mathrm{d}x]=$$

Next

$$\frac{1}{2}\cdot [\int 1\mathrm{d}x–\int \frac{1}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}(\sin x+\cos x)]=$$

$$\frac{1}{2}x–\frac{1}{2}\ln |\sin x+\cos x|+C.$$

其中，$C$ 为任意常数。

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