适时而止，更简单：$\int$ $e^{x}$ $\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

$$
\int e^{x} \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

由于本题含有指数函数 $e^{x}$ 和三角函数 $\arcsin$, 因此考虑用分部积分，同时，由于三角函数的积分运算不够简单，所以我们应该将指数函数 $e^{x}$ 凑到 $\mathrm{d}$ 中，变成 $\mathrm{d} e^{x}$, 即：

$$
\int e^{x} \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

Next

分部积分 $\Rightarrow$

$$
\int \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} \mathrm{d} e^{x} \Rightarrow
$$

$$
e^{x} \cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} – \int e^{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 – (\sqrt{1-e^{2x}})^{2}}} (\sqrt{1-e^{2x}})^{\prime} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

Next

到这里不需要把 $(\sqrt{1-e^{2x}})^{\prime}$ 进行求导展开运算，因为“适时而止”，有时候运算步骤会更简单：

$$
e^{x} \cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} – \int e^{x} \cdot \frac{\mathrm{d} (\sqrt{1-e^{2x}})}{\sqrt{1 – (\sqrt{1-e^{2x}})^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
e^{x} \cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} – \int e^{x} \cdot \frac{\mathrm{d} (\sqrt{1-e^{2x}})}{\sqrt{1 – 1 + e^{2x}}} \Rightarrow
$$

$$
e^{x} \cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} – \int e^{x} \cdot \frac{\mathrm{d} (\sqrt{1-e^{2x}})}{\sqrt{e^{2x}}} \Rightarrow
$$

$$
e^{x} \cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} – \int \frac{e^{x} \cdot \mathrm{d} (\sqrt{1-e^{2x}})}{e^{x}} \Rightarrow
$$

Next

$$
e^{x} \cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} – \int \mathrm{d} (\sqrt{1-e^{2x}}) \Rightarrow
$$

$$
e^{x} \cdot \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} – \sqrt{1-e^{2x}} + C.
$$

其中，$C$ 表示任意常数。

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