一、题目
$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = ?
$$
难度评级:
二、解析
我们知道:
$$
(\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$
Next
但是,下面这个结论是错误的:
$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – (\sqrt
x)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}}
$$
这是因为,$\arcsin \sqrt{x}$ 其实是一个复合函数,我们求导的对象是 $x$, 而不是 $\sqrt{x}$.
Next
因此,正确的结论是:
$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}} \times (\sqrt{x})^{\prime} \Rightarrow
$$
$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}} \times (x^{\frac{1}{2}})^{\prime} \Rightarrow
$$
$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}} \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow
$$
$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \times \frac{1}{\sqrt{1 – x}}.
$$
Next
综上可知,我们在进行求导运算时,一定要想一想是不是在对复合函数求导,我们的求导是否已经进行“彻底”了。
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