遇高幂就降幂: 2+x(1+x2)2 dx

一、题目题目 - 荒原之梦

2+x(1+x2)2dx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

如果一个变量的次幂是小于 1 或者大于 1 的,都是不容易计算的,因此,我们解题的一个核心思路就是将变量的次幂向 1 靠拢——三角代换和凑微分等方法都可以实现这一目的。

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2+x(1+x2)2dx=

2(1+x2)2dx+x(1+x2)2dx.

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其中:

x(1+x2)2dx=

121(1+x2)2d(1+x2)=

121t2dt=12t=12(1+x2)+C1

其中,C1 为任意常数。

2(1+x2)2 dx 的计算有两种方法:

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方法一:三角代换

2(1+x2)2dx=

21(1+x2)2dx

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x = tant, 则 1 + x2 = cos2tcos2t + sin2tcos2t = 1cos2t, d(tant) = 1cos2t dt

211cos4t1cos2tdt=

2cos2tdt

cos2t = 2cos2t 1 cos2t = 12 (1+cos2t)

212(1+cos2t)dt=

1dt+cos2tdt=t+12sin2t

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x = tant t = arctanx

t+12sin2t=arctanx+12sin(2arctanx)

根据荒原之梦网的【这篇文章】可知,sin(2arctanx) = 2x1+x2.

t+12sin2t=arctanx+x1+x2.

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于是:

2+x(1+x2)2dx=arctanx+x1+x212(1+x2)+C.

其中,C 为任意常数。

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方法二:加项减项

2(1+x2)2dx=

21(1+x2)2dx=

21+x2x2(1+x2)2dx=

21+x2(1+x2)2dx2x2(1+x2)2dx=

211+x2dx2x2(1+x2)2dx=

2arctanx2x2(1+x2)2dx

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(11+x2) = 2x(1+x2)2

2arctanx2xx(1+x2)2dx=

2arctanx+xd(11+x2)=

2arctanx+x11+x211+x2dx=

2arctanx+x1+x2arctanx=

arctanx+x1+x2.

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于是:

2+x(1+x2)2dx=arctanx+x1+x212(1+x2)+C.

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其中,C 为任意常数。

分析可知,本文中使用三角代换、凑微分、加项减项、分部积分等多种方法完成了对本题的求解,这些解题思路的一个核心就是:降幂。因为,只有将幂次变成 1 才能方便我们使用公式或者进行其他求解运算。


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