避坑指南:应用公式 1a2+x2 dx = 1a arctanxa + C 时的注意要点

一、前言 前言 - 荒原之梦

首先,大家看一看,下面的计算步骤是否正确:

x21+2x2dx=

x2x21x2+2x2x2dx=

11x2+2dx=

1(2)2+(1x)2dx=12arctan22x+C.

本文中的 C 表示任意常数。

二、正文 正文 - 荒原之梦

本文前言部分所给出的计算步骤是错误的。

因为,观察 1a2+x2 dx 的积分公式可知:

1a2+x2dx=1aarctanxa+C

1a2+2d=1aarctana+C.

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也就是说,d 中的积分变量 必须和积分式子 1a2+2 中的 完全一样才可以,即:

1(2)2+(1x)2d(1x)=12arctan22x+C.

1(2)2+(1x)2dx12arctan22x+C.

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此外,一般情况下,如果积分变量 是包含系数的,我们一般是先将这个系数提取出来,再应用公式进行求解。例如:

11+2x2dx=

1212+x2dx=

12112+x2dx=

121(12)2+x2dx=22arctan(2x)+C

上面的计算步骤是正确的。

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根据前面的阐述,下面的这个计算步骤则是错误的:

11+2x2dx=

11+(2x)2dx=arctan(2x)+C.

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推广可知,在使用下面这些公式的时候都需要注意避开前文所述的这个“坑”:

1a2+x2dx=1aarctanxa+C

1x2a2dx=12aln|xax+a|+C

1a2x2dx=arcsinxa+C

1x2+a2dx=ln(x+x2+a2)+C

1x2a2dx=ln|x+x2a2|+C


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