避坑指南：应用公式 $\int$ $\frac{1}{a^2+x^2}$ $\mathrm{d}x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\arctan \frac{x}{a}$ $+$ $C$ 时的注意要点

一、前言

首先，大家看一看，下面的计算步骤是否正确：

$$\int \frac{x^2}{1+2x^2}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{\frac{x^2}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+\frac{2x^2}{x^2}}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{1}{\frac{1}{x^2}+2}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{1}{(\sqrt{2}{)}^2+(\frac{1}{x}{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{\sqrt{2}}{2x}+C.$$

本文中的 $C$ 表示任意常数。

二、正文

本文前言部分所给出的计算步骤是错误的。

因为，观察 $\int$ $\frac{1}{a^2+x^2}$ $\mathrm{d}x$ 的积分公式可知：

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\Rightarrow$$

$$\int \frac{1}{a^2+{◻}^2}\mathrm{d}◻=\frac{1}{a}\arctan \frac{◻}{a}+C.$$

Next

也就是说，$\mathrm{d}◻$ 中的积分变量 $◻$ 必须和积分式子 $\frac{1}{a^2+{◻}^2}$ 中的 $◻$ 完全一样才可以，即：

$$\int \frac{1}{(\sqrt{2}{)}^2+(\frac{1}{x}{)}^2}\mathrm{d}(\frac{1}{x})=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{\sqrt{2}}{2x}+C.$$

$$\int \frac{1}{(\sqrt{2}{)}^2+(\frac{1}{x}{)}^2}\mathrm{d}x\ne \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{\sqrt{2}}{2x}+C.$$

Next

此外，一般情况下，如果积分变量 $◻$ 是包含系数的，我们一般是先将这个系数提取出来，再应用公式进行求解。例如：

$$\int \frac{1}{1+2x^2}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+x^2}\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\frac{1}{2}+x^2}\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan (\sqrt{2}x)+C$$

上面的计算步骤是正确的。

Next

根据前面的阐述，下面的这个计算步骤则是错误的：

$$\int \frac{1}{1+2x^2}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{1}{1+(\sqrt{2}x{)}^2}\mathrm{d}x=\arctan (\sqrt{2}x)+C.$$

Next

推广可知，在使用下面这些公式的时候都需要注意避开前文所述的这个“坑”：

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$

$$\int \frac{1}{x^2–a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2–x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin \frac{x}{a}+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2–a^2}}\mathrm{d}x=\ln |x+\sqrt{x^2–a^2}|+C$$

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