遇到三角函数有理式,就用三角函数凑微分: sin2xsin2x2+cos4x dx

一、题目题目 - 荒原之梦

sin2xsin2x2+cos4xdx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

分析题目可知,这是一个三角函数有理式,对于此类式子的积分,如果不能直接套用公式,我们一般可以尝试进行凑微分。

进一步观察式子中的分母可知,如果将 2+cos4x 改写成 2+(cos2x)2 的形式,那么就距离使用下面这个公式求解更进了一步:

1a2+x2dx=1aarctanxa+C

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又:

(cos2x)=2cosx(sinx)

(cos2x)=2cosxsinx.

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于是:

sin2xsin2x2+cos4xdx=

2sinxcosxsin2x2+cos4xdx=

2sinxcosxsin2x2+cos4xdx=

212sin2x2+cos4xd(cos2x)=

(1)1cos2x2+(cos2x)2d(cos2x)

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cos2x = t

(1)1t2+t2dt=

(1)[12+t2dtt2+t2dt]=

t2+t2dt12+t2dt=

12ln(2+t2)12arctant2+C.

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t = cos2x 代入:

12ln(2+t2)12arctant2+C

12ln[2+(cos2x)2]12arctancos2x2+C=

12ln(2+cos4x)12arctancos2x2+C.


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