遇到三角函数有理式，就用三角函数凑微分：$\int$ $\frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

$$
\int \frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

分析题目可知，这是一个三角函数有理式，对于此类式子的积分，如果不能直接套用公式，我们一般可以尝试进行凑微分。

进一步观察式子中的分母可知，如果将 $2 + \cos^{4} x$ 改写成 $2 + (\cos^{2} x)^{2}$ 的形式，那么就距离使用下面这个公式求解更进了一步：

$$
\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C
$$

Next

又：

$$
(\cos^{2} x)^{\prime} = 2 \cos x (- \sin x) \Rightarrow
$$

$$
(\cos^{2} x)^{\prime} = -2 \cos x \sin x.
$$

Next

于是：

$$
\int \frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{2 \sin x \cos x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \int \frac{\sin x \cos x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \cdot \frac{-1}{2} \cdot \int \frac{\sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x} \mathrm{d} (\cos^{2} x) =
$$

$$
(-1) \cdot \int \frac{1 – \cos^{2} x}{2 + (\cos^{2} x)^{2}} \mathrm{d} (\cos^{2} x) \Rightarrow
$$

Next

令 $\cos^{2} x$ $=$ $t$ $\Rightarrow$

$$
(-1) \cdot \int \frac{1 – t}{2 + t^{2}} \mathrm{d} t =
$$

$$
(-1) \cdot \Bigg[ \int \frac{1}{2 + t^{2}} \mathrm{d} t – \int \frac{t}{2 + t^{2}} \mathrm{d} t \Bigg] =
$$

$$
\int \frac{t}{2 + t^{2}} \mathrm{d} t – \int \frac{1}{2 + t^{2}} \mathrm{d} t =
$$

$$
\frac{1}{2} \ln (2+t^{2}) – \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{t}{\sqrt{2}} + C.
$$

Next

将 $t$ $=$ $\cos^{2} x$ 代入：

$$
\frac{1}{2} \ln (2+t^{2}) – \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{t}{\sqrt{2}} + C \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \ln [2+(\cos^{2} x)^{2}] – \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\cos^{2} x}{\sqrt{2}} + C =
$$

$$
\frac{1}{2} \ln (2+\cos^{4} x) – \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\cos^{2} x}{\sqrt{2}} + C.
$$

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