化繁为简：以 ${\int }_1^2$ $(x-1{)}^2$ $(x-2{)}^2$ $\mathrm{d}t$ 为例

一、题目

$${\int }_1^2(x-1{)}^2(x-2{)}^2\mathrm{d}t=$$

难度评级：

二、解析

本题最直接的计算方式，就是将 $(x-1{)}^2$ 和 $(x-2{)}^2$ 分别展开并相乘，之后再进行积分运算，但是这样做过程比较繁杂，解题速度较慢，且易出错。

以下两种方法都是从“化繁为简”的角度入手，在做适当的化简之后，对本题进行求解。

方法一：换元法

为了减少 $(x-1{)}^2$ 所带来的运算步骤，我们可以令：

$$t=x-1$$

于是：

$$x=t+1$$

$$\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$$

$$x\in (1,2)\Rightarrow t\in (0,1)$$

Next

从而，有：

$${\int }_1^2(x-1{)}^2(x-2{)}^2\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^1{t}^2(t-1{)}^2\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^1{t}^2(t^2+1–2t)\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^1(t^4+t^2–2t^3)\mathrm{d}t=$$

$$(\frac{1}{5}{t}^5+\frac{1}{3}{t}^3–2\cdot \frac{1}{4}{t}^4){|}_0^1=$$

$$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}–\frac{1}{2}=\frac{8}{15}–\frac{1}{2}=\frac{16}{30}–\frac{15}{30}=\frac{1}{30}$$

方法二：分部积分法

由于：

$$[(x-1{)}^3{]}^{\prime }=3(x-1{)}^2$$

Next

于是（第一次分部积分运算）：

$${\int }_1^2(x-1{)}^2(x-2{)}^2\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{3}{\int }_1^2(x-2{)}^2\mathrm{d}[(x-1{)}^3]=$$

$$\frac{1}{3}(x-2{)}^2(x-1{)}^3{|}_1^2–\frac{1}{3}\int 1^2(x-1{)}^3\mathrm{d}[(x-2{)}^2]=$$

$$0–\frac{1}{3}{\int }_1^2(x-1{)}^3\mathrm{d}[(x-2{)}^2]=$$

$$–\frac{2}{3}{\int }_1^2(x-1{)}^3(x-2)\mathrm{d}x=$$

Next

进而（第二次分部积分运算）：

$$–\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}{\int }_1^2(x-2)\mathrm{d}[(x-1{)}^4]=$$

$$\frac{1}{6}(x-2)(x-1{)}^4{|}_1^2+\frac{1}{6}\int 1^2(x-1{)}^4\mathrm{d}(x-2)=$$

$$0+\frac{1}{6}{\int }_1^2(x-1{)}^4\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{5}(x-1{)}^5{|}_1^2=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{30}$$

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