化繁为简：以 $\int_{1}^{2}$ $(x-1)^{2}$ $(x-2)^{2}$ $\mathrm{d} t$ 为例

一、题目

$$
\int_{1}^{2} (x-1)^{2} (x-2)^{2} \mathrm{d} t =
$$

难度评级：

二、解析

本题最直接的计算方式，就是将 $(x-1)^{2}$ 和 $(x-2)^{2}$ 分别展开并相乘，之后再进行积分运算，但是这样做过程比较繁杂，解题速度较慢，且易出错。

以下两种方法都是从“化繁为简”的角度入手，在做适当的化简之后，对本题进行求解。

方法一：换元法

为了减少 $(x-1)^{2}$ 所带来的运算步骤，我们可以令：

$$
t = x -1
$$

于是：

$$
x = t + 1
$$

$$
\mathrm{d} x = \mathrm{d} t
$$

$$
x \in (1, 2) \Rightarrow t \in (0, 1)
$$

Next

从而，有：

$$
\int_{1}^{2} (x-1)^{2} (x-2)^{2} \mathrm{d} t =
$$

$$
\int_{0}^{1} t^{2} (t-1)^{2} \mathrm{d} t =
$$

$$
\int_{0}^{1} t^{2} (t^{2} + 1 – 2t) \mathrm{d} t =
$$

$$
\int_{0}^{1} (t^{4} + t^{2} – 2t^{3}) \mathrm{d} t =
$$

$$
\Big( \frac{1}{5} t^{5} + \frac{1}{3} t^{3} – 2 \cdot \frac{1}{4} t^{4} \Big) \Big|_{0}^{1} =
$$

$$
\frac{1}{5} + \frac{1}{3} – \frac{1}{2} = \frac{8}{15} – \frac{1}{2} = \frac{16}{30} – \frac{15}{30} = \frac{1}{30}
$$

方法二：分部积分法

由于：

$$
[(x-1)^{3}]^{\prime} = 3 (x-1)^{2}
$$

Next

于是（第一次分部积分运算）：

$$
\int_{1}^{2} (x-1)^{2} (x-2)^{2} \mathrm{d} t =
$$

$$
\frac{1}{3} \int_{1}^{2} (x-2)^{2} \mathrm{d} [(x-1)^{3}] =
$$

$$
\frac{1}{3} (x-2)^{2}(x-1)^{3} \big|_{1}^{2} – \frac{1}{3} \int{1}^{2} (x-1)^{3} \mathrm{d} [(x-2)^{2}] =
$$

$$
0 – \frac{1}{3} \int_{1}^{2} (x-1)^{3} \mathrm{d} [(x-2)^{2}] =
$$

$$
– \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (x-1)^{3} (x-2) \mathrm{d} x =
$$

Next

进而（第二次分部积分运算）：

$$
– \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \int_{1}^{2} (x-2) \mathrm{d} [(x-1)^{4}] =
$$

$$
\frac{1}{6} (x-2) (x-1)^{4} \Big|_{1}^{2} + \frac{1}{6} \int{1}^{2} (x-1)^{4} \mathrm{d} (x-2) =
$$

$$
0 + \frac{1}{6} \int_{1}^{2} (x-1)^{4} \mathrm{d} x =
$$

$$
\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} (x-1)^{5} \Big|_{1}^{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{30}
$$

---