线性相关与线性无关边缘处性质的推论（C019）

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问题

已知，$n$ 个 $n$ 维向量 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_n$ 线性无关，则以下关于则任一 $n$ 维向量 $\mathit{\alpha }$ 与向量组 $($ ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_n$ $)$ 之间关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].   任一 $n$ 维向量 $\mathit{\alpha }$ 均可由 $($ ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_n$ $)$ 线性表示，且表示法唯一

[B].   任一 $n$ 维向量 $\mathit{\alpha }$ 不一定可由 $($ ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_n$ $)$ 线性表示

[C].   任一 $n$ 维向量 $\mathit{\alpha }$ 均不可由 $($ ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_n$ $)$ 线性表示

[D].   任一 $n$ 维向量 $\mathit{\alpha }$ 均可由 $($ ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_n$ $)$ 线性表示，但表示法不唯一

答 案

任一 $n$ 维向量 $\mathit{\alpha }$ 均可由 $($ ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_n$ $)$ 线性表示，且表示法唯一